P3731 二分图匹配必经边

题意经过一番转换变成了让你在一个二分图上删一条边使得二分图的最大独立集大小至少+1

二分图的最大独立集=点数-最小点覆盖(最大匹配) 点数是固定不变的所以我们要减少最大匹配数

则删掉的哪一条边必须是二分图匹配里必须的一条边

做法:先Dinic跑一次然后Tarjan缩点找到图中端点不为S/T且满流的边再判两端点是否属于一个SCC

如果属于一个SCC则必定存在另一个边可以替换掉这条匹配边

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAXN 10100
#define MAXM 150150
#define inf 1e9
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAXM<<1];
int h[MAXN],cnt=2;
inline void Add(int u,int v,int w)
{
    e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;
    e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++;
}
int S,T,level[MAXN];
bool bfs()
{
    for(int i=S;i<=T;++i)level[i]=0;
    queue<int> Q;level[S]=1;Q.push(S);
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
            if(e[i].w&&!level[e[i].v])
                level[e[i].v]=level[u]+1,Q.push(e[i].v);
    }
    return level[T];
}
int cur[MAXN];
int dfs(int u,int flow)
{
    if(u==T||!flow)return flow;
    int ret=0;
    for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v,d;
        if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1)
        {
            d=dfs(v,min(flow,e[i].w));
            ret+=d;flow-=d;
            e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;
            if(!flow)break;
        }
    }
    if(!ret)level[u]=0;
    return ret;
}
int Dinic()
{
    int ret=0;
    while(bfs())
    {
        for(int i=S;i<=T;++i)cur[i]=h[i];
        ret+=dfs(S,inf);
    }
    return ret;
}
vector<pair<int,int> > Ans;
vector<int> E[MAXN];
int n,m,col[MAXN];
void pre(int u,int c){col[u]=c;for(int v:E[u])if(!col[v])pre(v,c^1);}
int dfn[MAXN],low[MAXN],tim,G[MAXN],gr;
int St[MAXN],top;bool ins[MAXN];
void Tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++tim;St[++top]=u;ins[u]=true;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v;if(!e[i].w)continue;
        if(!dfn[v])Tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
        else if(ins[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        ++gr;int v;
        do{v=St[top--];G[v]=gr;ins[v]=false;}while(u!=v);
    }
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u=read(),v=read();
        E[u].push_back(v);
        E[v].push_back(u);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)if(!col[i])pre(i,2);
    S=0;T=n+1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(col[i]==2)
        {
            Add(S,i,1);
            for(int v:E[i])Add(i,v,1);
        }
        else Add(i,T,1);
    int ret=Dinic();
    for(int i=S;i<=T;++i)if(!dfn[i])Tarjan(i);
    for(int u=1;u<=n;++u)
        if(col[u]==2)
            for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
            {
                int v=e[i].v;if(e[i].w)continue;
                if(v==S||v==T)continue;
                if(G[u]!=G[v])Ans.push_back(u<v?make_pair(u,v):make_pair(v,u));
            }
    sort(Ans.begin(),Ans.end());
    printf("%d\n",(int)Ans.size());
    for(auto a:Ans)printf("%d %d\n",a.first,a.second);
    return 0;
}

P3731 二分图匹配必经边

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