算法——取球问题（特殊球法）

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问题

在n个球中，任意取出m个球（不放回），求有多少种不同的取法。

思路

将n个球看做有1个球是特殊球，现在分成两种情况取球：

• 取出的一部分中包含1个特殊球
• 取出的另一部分不包含特殊球

那么我们就将从n中取m个球的情况，变成了：

• 从n-1个球中取m-1个球（包含1个特殊球的情况）
• 从n-1个球中取m个球（不包含特殊球的情况）

一层一层往下推，直到：

• n<m的情况，取不了这样的情况，返回0；
• n=m的情况，只有一种方式就是全部取出来，返回1；
• m=0的情况，只有一种方式就是一个都不取，返回1。

举例

5个球里面取3个，有多少种不同取法？
分析过程：

• 给球编号为1。2。3。4。5。
• 假定3号球为特殊球
• 那么问题就变成了
  • 取3号球的情况：从4个球（先取出3号球，剩下4个球）里面取出2个球；
  • 不取3号球的情况：从4个球（排除掉3号球，剩下4个球）里面取3个球。
• 然后上述两种情况中，又可以将每种情况中的一个球看作特殊球，继续上述步骤。

代码实现（java、递归）

package suanfa;

import java.util.Scanner;

public class ball {
	//递归方法
	public static int f(int n,int m)
	{
		if(n<m)
			return 0;
		if(n==m)
			return 1;
		if(m==0)
			return 1;
		return f(n-1,m-1)+f(n-1,m);
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner in=new Scanner(System.in);
		int n=in.nextInt();
		int m=in.nextInt();
		System.out.println(f(n,m));
	}
}