【题解】魔术球问题

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题意

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思路

一看标签：网络流24题。

我们考虑建图，把每个点拆开，若两个数和为平方数，那么就从编号小的向编号大的连权值为1的有向边。那么就把这个问题转换成了匹配问题。

然后我们考虑对于一个新的球，如果能找到原来在的一个球能够匹配，那么可以直接匹配，否则就需要新开一根柱子。所以我们从小到大枚举放的球数，每次加入一个球，直到柱子个数超过给定的上限，那么上一次就是能放的最多球数。

对于方案，我们为了方便，在新增一根柱子的时候记录这个需要新柱子的球的编号，其余路径就按网络流跑二分图匹配的路径记录搞一搞即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 20005
#define MAXM 100005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

template <typename T>
void write(T n) {
    if(n<0) putchar('-'), n = -n;
    if(n>9) write(n/10);
    putchar(n%10+'0');
}

int num, cnt = 1, s, t;
int head[MAXN], Next[MAXM], vet[MAXM], cost[MAXM];
void add(int x, int y, int w) {
    cnt++;
    Next[cnt] = head[x];
    head[x] = cnt;
    vet[cnt] = y;
    cost[cnt] = w;
}

int vis[MAXN], dep[MAXN], cur[MAXN], to[MAXN], hd[MAXN];
bool bfs() {
    for(int i = 0; i <= t; i++) {
        vis[i] = 0, dep[i] = INF;
        cur[i] = head[i];
    }
    queue<int> q;
    q.push(s);
    vis[s] = 1;
    dep[s] = 1;
    while(!q.empty()) {
        int x = q.front();
        q.pop();
        vis[x] = 0;
        for(int i = head[x]; i; i = Next[i]) {
            int v = vet[i];
            if(cost[i] && dep[v] > dep[x]+1) {
                dep[v] = dep[x]+1;
                if(!vis[v]) {
                    vis[v] = true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return dep[t] != INF;
}

int ans, tot;
int dfs(int x, int flow) {
    if(x == t) {
        ans += flow;
        return flow;
    }
    int used = 0;
    for(int &i = cur[x]; i; i = Next[i]) {
        int v = vet[i];
        if(cost[i] && dep[v] == dep[x]+1) {
            int m = dfs(v, min(flow-used, cost[i]));
            if(m) {
                cost[i] -= m;
                cost[i^1] += m;
                used += m;
                to[x] = v;
                if(used == flow) break;
            }
        }
    }
    return used;
}

bool chk(int x) {
    return (int)sqrt(x*1.0)*(int)sqrt(x*1.0) == x;
}

bool solve(int n) {
    s = 0, t = 10001;
    ans = 0;
    add(s, n*2, 1);
    add(n*2, s, 0);
    add(n*2+1, t, 1);
    add(t, n*2+1, 0);
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        if(chk(i+n)) {
            add(i*2, n*2+1, 1);
            add(n*2+1, i*2, 0);
        }
    }
    while(bfs()) {
        dfs(s, INF);
    }
    if(!ans) tot++, hd[tot] = n*2;		//新增柱子的时候记录编号
    return tot <= num;
}

int main() {
    cin >> num;
    int i;
    for(i = 1; ; i++) {
        if(!solve(i)) {
            break;
        }
    }
    i--;
    write(i);
    putchar('\n');
    int now;
    for(int j = 1; j <= num; j++) {
        now = hd[j];
        write(now/2);
        putchar(' ');
        now = to[now];
        to[now] = 0;
        while(now && now != t) {
            now = now/2*2;
            write(now/2), putchar(' ');
            int t = to[now];
            to[now] = 0;
            now = t;
        }
        putchar('\n');
    }

    return 0;
}