题面
题解
这里介绍一下简单易懂的概率生成函数
概率生成函数
我们定义一个形式幂级数\(A(x)\)，称它为离散随机变量\(X\)的概率生成函数，当且仅当对于\(A(x)\)的每一项\(a_i\)，都有\(a_i=P(X=i)\)
容易发现以下几个性质
1.\[A(1)=\sum_{i=0}^\infty P(X=i)=1\]
2.\[A'(x)=\sum_{i=0}^\infty iP(X=i)x^{i-1}=E(X)\]
本题
我们先来考虑一个弱化版的问题，即\(n=1\)
这也太弱化了吧你随便抓个\(js\)都知道这是\(1\)啊……
不过我们现在考虑的是求此时扔硬币的期望次数是多少（实际上这个问题就是P4548 [CTSC2006]歌唱王国，你可以一并解决了）
这里我们假设它扔的不是个硬币而是个有\(m\)面的骰子，那么本题就是\(m=2\)的特殊情况了
我们定义一个字符串的前缀\(S[1,i]\)为这个字符串的\(border\)当且仅当\(S[1,i]=S[L-i+1,L]\)，其中\(L\)为串长
定义\(a_i\)，当且仅当\(S[1,i]\)是\(S\)的\(border\)时\(a_i\)为\(1\)，否则\(a_i\)为\(0\)
定义答案的概率生成函数为\(F(x)\)，即\(f_i\)表示掷了\(i\)次骰子游戏结束的概率，以及\(G(x)\)，\(g_i\)表示掷了\(i\)次骰子游戏仍未结束的概率
那么容易发现两个性质
1.\[G(x)+F(x)=1+xG(x)\]
也就是说\(g_i=g_{i+1}+f_{i+1}\)，即如果第\(i\)次未结束，那么第\(i+1\)次只有结束或未结束，\(+1\)是因为常数项
2.\[G(x)\left({1\over m}x\right)^L=\sum_{i=1}^La_iF(x)\left({1\over m}x\right)^{L-i}\]
即如果我们在一个未结束的串后面加上整个\(A\)肯定结束，然而还有可能没有加完整个串就已经结束了。通过分析可知，如果我们加了\(A\)的前\(i\)个字符之后结束，即有\(A[L-i+1,L]=A[1,i]\)，那么根据定义，\(A[1,i]\)是一个\(border\)，然后再把剩下的\(L-i\)个字符加进去就行了
对于\(1\)式，我们对两边求导，再把\(x=1\)代入，得
\[G'(x)+F'(x)=G(x)+xG'(x)\]
\[F'(1)=G(1)\]
即我们所需要求的\(E(x)=F'(1)=G(1)\)
对于\(2\)式，我们把\(1\)代入，在两边同乘上\(m^L\)，得
\[G(1)=\sum_{i=1}^La_im^iF(1)\]
又因为\(F(1)=1\)，最终可以化作
\[E(x)=\sum_{i=1}^La_im^i\]
那么只要哈希就可以\(O(L)\)求出\(a_i\)了
\(n> 1\)
以上是\(n=1\)的情况，接下来我们就考虑串的个数大于\(1\)的情况
因为证明基本和上面差不多，下面我就不给证明直接放柿子了
定义\(P(A_i)=\prod_{i\in A_i}P_i\)
定义\(a_{i,j,k}\)，当且仅当\(A_i[1,k]=A_j[m-k+1,m]\)时值为\(1\)否则为\(0\)，可以用\(hash\)从而在\(O(n^3)\)的时间内解得
定义\(f_{i,j}\)表示首次出现的序列是\(A_i\)且随机序列长度为\(j\)的概率，\(F_i(x)\)为其生成函数，定义辅助序列\(g_i\)表示随机序列长度为\(i\)时仍未结束的概率，生成函数为\(G(x)\)
容易得到
\[ G(x)+\sum_{i=1}^nF_i(x)=1+xG(x) \]
\[ G(x)P(A_i)x^m=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^ma_{i,j,k}F_j(x)P(A_i[k+1,m])x^{L_i-k} \]
前一个柿子这里就不用管了，我们考虑后一个柿子，把\(x=1\)代入，可以得到
\[G(1)=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^ma_{i,j,k}F_j(1)P({1\over A_i[1,k]})\]
对于每一个\(i\)都有这么一个方程，我们需要解出\(F_i(1)\)和\(G(1)\)，那么总共有\(n\)个方程和\(n+1\)个变量
等会儿好像还是不能解啊……
我们再转过头来看看……\(F_i(1)\)表示第\(i\)个人获胜的概率……那么似乎有
\[\sum_{i=1}^nF_i(1)=1\]
这样就有\(n+1\)个方程了，高斯削元就是了，时间复杂度\(O(n^3)\)
//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int N=305,P=1e9+7;const double eps=1e-10;
double mp[N][N],b[N];char s[N];int bin[N],h[N][N],n,m;
inline int Hash(R int i,R int l,R int r){return ((h[i][r]-1ll*h[i][l-1]*bin[r-l+1])%P+P)%P;}
void Gauss(int n){
fp(i,1,n){
if(mp[i][i]>-eps&&mp[i][i]<eps){
fp(j,i+1,n)if(mp[j][i]<-eps||mp[j][i]>eps){
fp(k,i,n+1)swap(mp[i][k],mp[j][k]);
break;
}
}
double t=1.0/mp[i][i];fp(j,i,n+1)mp[i][j]*=t;
fp(j,i+1,n){
t=mp[j][i];
fp(k,i,n+1)mp[j][k]-=mp[i][k]*t;
}
}
fd(i,n-1,1)fp(j,i+1,n)mp[i][n+1]-=mp[j][n+1]*mp[i][j];
}
int main(){
// freopen("testdata.in","r",stdin);
scanf("%d%d",&n,&m);
bin[0]=b[0]=1;
fp(i,1,m)bin[i]=(bin[i-1]<<1)%P,b[i]=b[i-1]*2;
fp(i,1,n){
scanf("%s",s+1);
fp(j,1,m)h[i][j]=((h[i][j-1]<<1)+(s[j]=='H'))%P;
}
fp(i,1,n){
fp(j,1,n)fp(k,1,m)(Hash(i,1,k)==Hash(j,m-k+1,m))?mp[i][j]+=b[k]:0;
mp[i][n+1]=-1;
}
fp(i,1,n)mp[n+1][i]=1;mp[n+1][n+2]=1;
Gauss(n+1);
fp(i,1,n)printf("%.8lf\n",mp[i][n+2]);
return 0;
}