「SDOI2017」硬币游戏

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问题分析

首先一个显然的做法就是建出AC自动机，然后高斯消元。但是这样的复杂度是\(O(n^3m^3)\)的。

我们发现其实只需要求AC自动机上\(n\)个状态的概率，而其余的概率是没有用的。我们不妨设\(i\)赢的概率是\(P_i\)。同时，我们令\(P_0\)为没有任何一个人赢的概率。

然后我们考虑从\(P_0\)转移到\(P_i\)。如果我们直接在\(P_0\)后面加上串\(i\)是可以的。这样的概率是\(\frac{1}{2^m}P_0\)。

但是这样有一个问题：

我们从\(P_0\)转移到\(P_i\)的过程中，可能先转移到了\(P_j\)。比如说，我们在\(P_0\)后加了\(k(0 < k < m)\)位就到了\(j\)。这种情况下，串\(i\)长度为\(k\)的前缀就等于串\(j\)长度为\(k\)的后缀。此时就相当于在\(P_j\)后接一个长为\(m-k\)的串到\(P_i\)，而这样的概率是\(\frac{1}{2^{m-k}}P_j\)。

可以借助下图加深理解：

所以我们可以得到\(n\)个方程
\[ P_i=\frac{1}{2^m}P_0-\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^m[substr(i,1,k)=substr(j,m-k+1)]\frac{1}{2^{m-k}}P_j \]
其中\(substr(i,j,k)\)表示串\(i\)从\(j\)到\(k\)所构成的子串。

然后还有\(\sum\limits_{i=1}^nP_i=1\)，这样我们就有\(n+1\)个未知数，\(n+1\)个方程。然后你就稳了。

参考程序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Maxn = 310;
int n, m, A[ Maxn ][ Maxn ], Fail[ Maxn ][ Maxn ];
long double Pow[ Maxn ], B[ Maxn ][ Maxn ];

int main() {
    scanf( "%d%d", &n, &m );
    for( int i = 1; i <= n; ++i ) {
        char Ch[ Maxn ];
        scanf( "%s", Ch + 1 );
        for( int j = 1; j <= m; ++j )
            A[ i ][ j ] = ( Ch[ j ] == 'T' ) ? 1 : 0;
    }
    for( int i = 1; i <= n; ++i ) {
        Fail[ i ][ 1 ] = 0;
        int t = 0;
        for( int j = 1; j < m; ++j ) {
            while( t && A[ i ][ t + 1 ] != A[ i ][ j + 1 ] ) t = Fail[ i ][ t ];
            if( A[ i ][ t + 1 ] == A[ i ][ j + 1 ] ) ++t;
            Fail[ i ][ j + 1 ] = t;
        }
    }
    Pow[ 0 ] = 1;
    for( int i = 1; i <= m; ++i )
        Pow[ i ] = Pow[ i - 1 ] * 0.5L;

    for( int i = 1; i <= n; ++i )
        for( int j = 1; j <= n; ++j ) {
            B[ i ][ j ] = 0ll;
            int t = 0;
            for( int k = 1; k <= m; ++k ) {
                while( t && A[ i ][ t + 1 ] != A[ j ][ k ] ) t = Fail[ i ][ t ];
                if( A[ i ][ t + 1 ] == A[ j ][ k ] ) ++t;
            }
            if( i == j ) t = Fail[ i ][ t ];//注意不要漏掉这句
            while( t ) {
                B[ i ][ j ] += Pow[ m - t ];
                t = Fail[ i ][ t ];
            }
        }
    for( int i = 1; i <= n; ++i ) {
        B[ i ][ 0 ] = -Pow[ m ];
        B[ i ][ i ] += 1ll;
    }
    for( int i = 1; i <= n; ++i ) B[ 0 ][ i ] = 1;
    B[ 0 ][ n + 1 ] = 1;

    for( int i = 0; i <= n; ++i ) {
        if( B[ i ][ i ] == 0ll )
            for( int j = i + 1; j <= n; ++j ) {
                if( B[ j ][ i ] )
                    for( int k = 0; k <= n + 1; ++k )
                        swap( B[ i ][ k ], B[ j ][ k ] );
                break;
            }
        long double t = B[ i ][ i ];
        for( int j = 0; j <= n + 1; ++j ) B[ i ][ j ] /= t;
        for( int j = 0; j <= n; ++j ) {
            if( j == i ) continue;
            long double T = B[ j ][ i ];
            for( int k = 0; k <= n + 1; ++k )
                B[ j ][ k ] -= B[ i ][ k ] * T;
        }
    }
    for( int i = 1; i <= n; ++i ) 
        printf( "%.10Lf\n", B[ i ][ n + 1 ] );
    return 0;
}