图论 —— 最小生成树 —— Kruskal

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【基本思想】

Kruskal 算法基本思想是并查集思想，将所有边升序排序，并认为每一个点都是孤立的，分属 n 个独立的集合。

按顺序枚举每一条边，如果这条边连接的两个点分属两个不同的集合，那么就将这条边加入最小生成树，这两个不同的集合合并为一个集合；如果这条边连接的两个点属于同一集合，那么就跳过。直到选取 n-1条边为止（只剩一个集合）。

其时间复杂度为：O（E*logE），E代表边数。

【算法分析】

以下图为例

开始时，5 个集合｛｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝｝，生成树中没有边，MST=0。

第一次选择 <1，2> 这条边，将边加入生成树中，将两个顶点 1、2 合并为一个集合。

此时，有 4 个集合｛｛1，2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝｝，1 条边｛<1，2>｝，MST=2。

第二次选择的是 <4，5> 这条边，将这条边加入生成树中，将两个顶点 4、5 合并为一个集合。

此时，有 3 个集合｛｛1，2｝，｛3｝，｛4，5｝｝，2 条边｛<1，2>，<4，5>｝，MST=5。

第三次选择的是 <3，5> 这条边，将这条边加入生成树中，将它的两个顶点 3、5 所在的两个集合合并为一个集合。

此时，有 2 个集合｛｛1，2｝，｛3，4，5｝｝，3 条边｛<1，2>，<4，5>，<3，5>｝，MST=11。

第四次选择的是 <2，5> 这条边，将这条边加入到生成树中，将它的两个顶点 2、5 所在的两个集合合并为一个集合。

此时，有 1 个集合｛1，2，3，4，5｝，4 条边｛<1，2>，<4，5>，<3，5>，<2，5>｝，MST=19。

【算法描述】

sort(edge+1,edge+1+m,cmp);//将边按照升序排序
for(int i=1;i<=n;i++)//初始化并查集
    father[i]=i;
int MST=0;//权值和
int k=0;//计数器
for(int i=1;i<=m;i++)//m代表边数
    if(Find(x)!=Find(y))//如果u、v分属两个不同的集合
    {
    	Union(u,v);//合并u、v所在的集合，相当于将边u-v加入最小生成树
        MST+=W(u,v);//最小生成树的权值和加上u-v边的权值
    	k++;//计数器+1，代表存入一个点
    	if(k==n-1)//点数达到n-1个，说明最小生成树已经生成
            break;
    }