[图论]最小生成树之Prim算法与Kruskal算法

最小生成树

生成树

对某一图，从图中任一顶点出发，遍历图，遍历所经过的边以及所有顶点构成一颗生成树。

因此，对于有n个顶点的图，其生成树有n个顶点，n-1条边。

边权之和称为代价，代价最小的生成树即为最小生成树。

最小生成树不一定唯一，带它们的权值相等。

通常，使用Prim算法以及Kruskal算法来求取最小生成树。

Prim算法

由顶点出发考虑。

原有顶点集V，边集E；建立最小生成树顶点集U，边集TE，初始U为空。

1. （初始化）在V中任选一顶点 ，加入U.
2. 若 $V-U\neq 0$，在U、V - U 中各选一个顶点，使得该边权值最小，将该边加入TE，V - U 中顶点加入U.
3. 重复(2.).

代码实现

const int MAX = 9999999;
const int NUM = 105;
vector<vector<int> > adjtable(NUM, vector<int>(NUM, MAX));

int Prim(vector<vector<int> > adj, int num){
	//输入邻接矩阵adj以及顶点数num 
	int result = 0;
	int* lowcost = new int[NUM];
	int* visited = new int[NUM];
	for(int i = 0;i<num;i++){
		lowcost[i] = adj[0][i];	// 建立lowcost列表，由顶点0开始，初始化 
		visited[i] = 0;			// 建立visited列表，初始化为0表示未访问 
	}
	visited[0] = 1;	// 从0开始，标记为1表示已访问 
	// 遍历各顶点 
	for(int i = 0;i<num;i++){
		int mini = MAX;	// 待选取得最小边权，初始化为MAX 
		int pos = 0;	// 最小边权对应的在V-U中的顶点下标，即尚未加入生成树的顶点下标 
		for(int j = 0;j<num;j++){
			if(!visited[j] && mini > lowcost[j]){
				// 当顶点j未被访问，那么判断 <v, j> 边权是不是当前最小边权，
                // v为已加入生成树中的某一顶点 
				mini = lowcost[j];
				pos = j;
			}
		}
        // 当mini未被更新，表示所有顶点已经加入生成树，完成构建
		if(mini == MAX) break; 
		result += mini;
		visited[pos] = 1; // pos标记的顶点加入生成树 
		// 更新lowcost，
        // 若当前加入生成树的顶点与未加入顶点之间的距离小于lowcost中的值，则更新 
		for(int j = 0;j<num;j++){
			if(!visited[j] && lowcost[j] > adj[pos][j]){
				lowcost[j] = adj[pos][j];
			}
		}
	}
	return result;
}

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Kruskal算法

由边出发考虑。

原有顶点集V，边集E；建立最小生成树顶点集U，边集TE，初始U为空。

1. 若E未被读取完，在E中选权值最小的一条边，判断该边两顶点是否都在TE中；

   若E被读取完，则完成算法.

2. 若都在TE中，跳过该边，读取E中除此边以外最小的边，重复(1.)；

   若不都在TE中，将该边加入TE，重复(1.).

代码实现

const int NUM = 105;
struct edges{
	int v1, v2;
	int val;
	edges(int a, int b, int c): v1(a), v2(b), val(c){}
};

vector<vector<int> > adjtable(NUM, vector<int>(NUM, 0));
vector<edges> Edges;
int visited[NUM];
int T_pre[NUM];

int find(int x){
	int r = x;
	while(T_pre[r] != r){
		r = T_pre[r];
	}
	int i = x, j;
	while(i!=r){
		j = T_pre[i];
		T_pre[i] = r;
		i = j;
	}
	return r;
}

int join(int x, int y){
	int a = find(x);
	int b = find(y);
	if(a!=b) T_pre[a] = b;
}

bool cmp(edges e1, edges e2){
	return e1.val < e2.val;
}

int Kruskal(vector<vector<int> > adj, int num){
	int result = 0;
	for(int i = 0;i<num;i++){
		// 初始化并查集 T_pre, T_pre记录所有已加入生成树的顶点
		T_pre[i] = i;
		for(int j = 0;j<num;j++){
			// 初始化边集 
			if((!visited[i]||!visited[j]) && adj[i][j]){
				edges e(i, j, adj[i][j]);
				Edges.push_back(e);
			}
		}
	}
	// 边集中，按照边权排序 
	sort(Edges.begin(), Edges.end(), cmp);
	int a, b; 
	for(int i = 0;i<Edges.size();i++){
		a = find(Edges[i].v1);
		b = find(Edges[i].v2);
		// a!=b，即二者不在同一集合（生成树顶点集）中，将该边加入生成树 
		if(a!=b){
			result += Edges[i].val;
			join(Edges[i].v1, Edges[i].v2);
		}
	}
	return result;
}

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// Szp 2018/12/10