概述
首先我们要知道什么是组合数。具体可以参考我之前的博客 “排列与组合”笔记 中，集合的组合的部分。
这里复述如下： 令r为非负整数。我们把n个元素的集合S的r-组合理解为从S的n个元素中对r个元素的无序选择。换句话说，S的一个r-组合是S的一个子集，该子集由S的n个元素中的r个组成，即S的一个r-元素子集。
由此，求解组合数即变成了求式子C(n, r) 的值。
法一：Pascal公式打表
由Pascal公式（参考 组合数学笔记之二——二项式系数），我们知道
{C(n,k)=C(n,0)= C(n−1,k−1)+C(n−1,k) C(n,n)=1
{C(n,k)= C(n−1,k−1)+C(n−1,k)C(n,0)= C(n,n)=1
取二维数组 tC[][] ，初始化 tC[0][0] = 1; 打表即可。代码最简单，如下：
const int maxn(1005), mod(100003);
int tC[maxn][maxn]; //tC 表示 table of C
inline int C(int n, int k)
{
if(k > n) return 0;
return tC[n][k];
}
void calcC(int n)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
tC[i][0] = 1;
for(int j = 1; j < i; j++)
tC[i][j] = (C(i - 1, j - 1) + C(i - 1, j)) % mod;
tC[i][i] = 1;
}
}
计算 C(n,k)C(n,k) 返回内联函数C(n,k)C(n,k) 的值即可。
当然我们知道 C(n,k)=C(n,n−k)C(n,k)=C(n,n−k) ，所以上面的代码有很多空间和时间的浪费。可以将 tC[][] 二维数组转化为一维数组存储，同时，当 j>i/2j>i/2 时终止第二层循环，新代码如下：
const int maxn(10005), mod(100003);
int tC[maxn * maxn]; //tC 表示 table of C
inline int loc(int n, int k) // C(n, k)返回在一维数组中的位置
{
int locate = (1 + (n >> 1)) * (n >> 1); // (n >> 1) 等价于 (n / 2)
locate += k;
locate += (n & 1) ? (n + 1) >> 1 : 0; // (n & 1) 判断n是否为奇数
return locate;
}
inline int C(int n, int k)
{
if(k > n) return 0;
k = min(n - k, k);
return tC[loc(n, k)];
}
void calcC(int n)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
tC[loc(i, 0)] = 1;
for(int j = 1, e = i >> 1; j <= e; j++)
tC[loc(i, j)] = C(i - 1, j) + C(i - 1, j - 1);
}
}
同样，要得到 C(n,k)C(n,k) 只需要返回内联函数C(n,k)C(n,k) 的值即可。
显然，由于空间的限制，pascal打表的方式并不适合求取一些比较大的组合数。例如，我们现在要求取的组合数的 nn 的范围是 [1,1000000][1,1000000] , 那么我们应该怎么办呢？ 那就轮到方法二大显身手了。
法二：逆元求取组合数
由定理可知：如果用C(n, r)表示n-元素集的r-组合的个数，有
C(n,r)=n!r!∗(n−r)!
C(n,r)=n!r!∗(n−r)!
而我们的目标就是计算 C(n,r)%modC(n,r)%mod 的值。
由数论的知识我们知道，模运算的加法，减法，乘法和四则运算类似，即：
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
但对于除法却不成立，即(a / b) % p ≠≠ (a % p / b % p) % p 。
显然数学家们是不能忍受这种局面的，他们扔出了“逆元”来解决这个问题。那么什么是逆元？ 逆元和模运算中的除法又有说明关系呢？
首先给出数论中的解释：
对于正整数 aa 和 pp，如果有 ax≡1(modp)ax≡1(modp)，那么把这个同余方程中 xx 的最小正整数解叫做 aa 模 pp 的逆元。
什么意思呢？ 就是指，如果 ax%p=1ax%p=1 ， 那么x的最小正整数解就是 aa 的逆元。
现在我们来解决模运算的除法问题。假设
ab
ab
同时存在另一个数 xx 满足
ax%p=m
ax%p=m
由模运算对乘法成立，两边同时乘以 bb ，得到：
a%p=(m(b%p))%p
a%p=(m(b%p))%p
如果 aa 和 bb 均小于模数 pp 的话，上式可以改写为：
a=bm%p
a=bm%p
等式两边再同时乘以 xx, 得到：
ax%p=m%p=xbm%p
ax%p=m%p=xbm%p
因此可以得到：
bx%p=1
bx%p=1
哎，x是b的逆元呀（x 在模运算的乘法中等同于 1b1b, 这就是逆元的意义）
由以上过程我们看到，求取 (ab%p)(ab%p) 等同于 求取 (a∗(b的逆元)%p)(a∗(b的逆元)%p) 。 因此，求模运算的除法问题就转化为就一个数的逆元问题了。
而求取一个数的逆元，有两种方法
拓展欧几里得算法
费马小定理
对于利用拓展欧几里得算法求逆元，很显然，如果bx%p=1bx%p=1，那么 bx+py=1bx+py=1, 直接利用 exgcd(b, p, x, y)（代码实现在后面给出），则 (x%p+p)%p(x%p+p)%p 即为 bb 的逆元。
对于第二种方法，因为在算法竞赛中模数p总是质数，所以可以利用费马小定理 ：
bp−1%p=1
bp−1%p=1
可以直接得到 bb 的逆元是 bp−2bp−2 , 使用 快速幂 求解即可。
明白了以上几个关键点，那么求取组合数 C(n,r)C(n,r) 的算法就呼之欲出了：
求取1到n的阶乘对 mod 取模的结果存入数组 JC[] 中；
求取 C(n,r)C(n,r) 时， 先利用“拓展欧几里得算法”或者“费马小定理+快速幂”求 JC[r]的逆元存入临时变量 x1x1 ;
然后计算JC[n]∗x1%modJC[n]∗x1%mod 存入临时变量 x2x2;（x2x2 即为n!r!%modn!r!%mod 的值）
求取JC[n - r] 的逆元存入临时变量 x3x3;
则可以得到 C(n,r)=x2∗x3%modC(n,r)=x2∗x3%mod
下面是方法二的代码片段：
typedef long long LL;
const LL maxn(1000005), mod(1e9 + 7);
LL Jc[maxn];
void calJc() //求maxn以内的数的阶乘
{
Jc[0] = Jc[1] = 1;
for(LL i = 2; i < maxn; i++)
Jc[i] = Jc[i - 1] * i % mod;
}
/*
//拓展欧几里得算法求逆元
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) //拓展欧几里得算法
{
if(!b) x = 1, y = 0;
else
{
exgcd(b, a % b, y, x);
y -= x * (a / b);
}
}
LL niYuan(LL a, LL b) //求a对b取模的逆元
{
LL x, y;
exgcd(a, b, x, y);
return (x + b) % b;
}
*/
//费马小定理求逆元
LL pow(LL a, LL n, LL p) //快速幂 a^n % p
{
LL ans = 1;
while(n)
{
if(n & 1) ans = ans * a % p;
a = a * a % p;
n >>= 1;
}
return ans;
}
LL niYuan(LL a, LL b) //费马小定理求逆元
{
return pow(a, b - 2, b);
}
LL C(LL a, LL b) //计算C(a, b)
{
return Jc[a] * niYuan(Jc[b], mod) % mod
* niYuan(Jc[a - b], mod) % mod;
}
以上即为逆元求取组合数的方法，无论使用拓展欧几里得还是费马小定理，一开始求取Jc数组是的复杂度是 O(n)O(n)，拓展欧几里得算法和费马小定理的复杂度均为 O(lg(mod))O(lg(mod)) , 如果要求取m次组合数，则总的时间复杂度为O(m *n*lg(mod))O(mnlg(mod)).
3 卢卡斯定理 https://blog.csdn.net/ArrowLLL/article/details/53064748
以上です。
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作者：Elin_24
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/ArrowLLL/article/details/52629448
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