矩阵基本运算

1，矩阵相关运算

矩阵的运算满足分配律和结合律，不满足交换律。
设A、B和C为3个矩阵， $\lambda$为实数，
则
1.1 $A(B+C)=AB+AC$
1.2 $ABC=(AB)C=A(BC)$
1.3 $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
1.4 $\lambda AB=A(\lambda B)$

2，转置矩阵相关运算

2.1 $(A+B)^T=A^T+B^T$
2.2 $(\lambda A)^T=\lambda A^T$
2.3 $(AB)^T=B^TA^T$
若 $A=A^T，则称矩阵A为对称阵（隐含条件为A是方正，单位方阵为对称阵）$

3，方阵的逆矩阵相关运算

若BA=AB=E（A和B为同阶方阵，E为单位方阵），则称A和B互为逆矩阵，记作 $B=A^{-1}$。

方阵A可逆的充分必要条件是它的行列式不为0。

3.1 若方阵A可逆，则 $A^{-1}$也可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$
3.2 若方阵A可逆， $\lambda$为实数，则 $\lambda A$也可逆，且 $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$
3.3 若方阵A和B均可逆且同阶，则AB也可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

对于非方阵，有广义逆的定义。

4，方阵的行列式相关运算

4.1 $|A^T|=|A|$
4.2 $|\lambda A|=\lambda^n|A|$ （假设A为n阶）
4.3 $|AB|=|A||B|$

5，共轭矩阵的性质

若A、B都是复矩阵， $\lambda为复数$，
则
5.1 $\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}$
5.2 $\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}$
5.3 $\overline{\lambda A}=\bar{\lambda}\bar{A}$