Matlab从入门到精通（六）--矩阵基本运算

1、行向量的定义

rowvec = [1.2 3 56];

2、列向量的定义

colvec = [1.2;3;56];

3、逐个元素的分配矩阵

B(1,1) = 1 ;

B(1,2) = 2 ;

B(2,1) = 3 ;

B(2,2) = 4 ;

B =

1 2

3 4

注意：矩阵的下标从1开始计数

4、矩阵的输入

直接输入矩阵时候，矩阵元素用“空格”或者“逗号”隔开，矩阵行用“分号”隔离，整个矩阵放在方括号“[ ]”内.不必事先对矩阵维数做任何说明.

例如：

A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9]

或者

A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]

还可以分行输入：

A=[1 2 3;

4 5 6;

7 8 9]

注意：

表达符号一定要在英文状态下输入.MATLAB对矩阵大小写是敏感的.如果不用clear指令清楚，或者重新赋值，那么该矩阵就会一直保存在工作空间中，直到指令窗(Command Window)关闭.

5、矩阵、零矩阵和单位矩阵

1矩阵的所有元素全为1，零矩阵的所有元素全为零.

ones(n) %建立一个n×n的1矩阵

ones(m,n,……,p) %建立一个m×n×……×p的1矩阵

ones(size(A)) %建立一个和矩阵A同样大小的1矩阵

zeros(n) %建立一个n×n的0矩阵

zeros(m,n,……,p) %建立一个m×n×……×p的0矩阵

zeros(size(A)) %建立一个和矩阵A同样大小的0矩阵

eye(n) %建立一个n×n的单位矩阵

eye(m,n) %建立一个m×n的单位矩阵

eye(size(A)) %建立一个和矩阵A同样大小的单位矩阵

例如：输入OneMatrix = ones(2,3,2)

则结果为：

OneMatrix(:,:,1) =

1 1 1

OneMatrix(:,:,2) =

1 1 1

注意：eye命令只能用来建立二维矩阵

6、随机数和随机矩阵

rand %产生在0~1之间均匀分布的随机数；每调用一次给一个新的数值.

rand + i*rand %产生一个复数随机数

rand(n) %产生一个n×n的矩阵，其元素均为0~1之间均匀分布的随机数.

rand(m,n,……,p) %产生一个m×n×……×p的矩阵,其元素均为0~1之间均匀分布的随机数.

randn %产生零均值、单位方差的正太分布随机数

randn(n) %产生一个n×n的矩阵，其元素均为零均值、单位方差的正太分布随机数.

randn(m,n,……,p) %产生一个m×n×……×p的矩阵, 其元素均为零均值、单位方差的正太分布随机数.

7、随机数种子

rand(‘state’) %返回一个有35个元素的向量，其中包含随机发生器的当前状态.

rand(‘state’,s) %设置随机种子发生器的状态为s

rand(‘state’,0) %设置随机种子发生器为它的原始状态

rand(‘state’,j) %设置随机种子发生器为它的第j种子状态,j为整数

rand('state',sum(100*clock)); %使用clock命令，使得随机种子发生器在每个不同的时刻都设置为不同的状态.

rand(‘state’,arg) %使用MATLAB中的随机种子发生器.

randn(‘state’,) %返回一个有两个元素的向量，其中包含正态随机种子发生器的状态

randn(‘state’,arg) %根据arg设置正态随机种子发生器，见rand.

例如

astate = rand('state'); astate(1:5)

ans =

0.8651

0.5121

0.9021

0.8186

0.6267

说明：astate(1:5)表示列出状态向量(35个元素)中的前5个元素的值

8、从已存在的向量中产生新的矩阵（一）

diag(A) %生成一个由矩阵A主对角线元素组成的列向量，主对角线总是从矩阵左上角开始，对于方阵来说它结束于矩阵的右下角.

diag(x) %x为一个n维向量.生成一个n维方阵，它的主对角线元素取自向量x，其余元素的值都为零.

diag(A,k) %生成一个由矩阵A第k条对角线元素组成的列向量。k=0为主对角线；K<0为主对角线下第条对角线；k>0为主对角线上第K条对角线.

dialog(x,k) %生成一个(n +)*(n+)维的矩阵，该矩阵的第k条对角线元素取自x，其余元素为0.（n为x的维数）

例一：

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

diag(A)=

例二：

x = [1 2 3];

diag(x) =

1 0 0

0 2 0

0 0 3

例三：(A为例一中的A)

diag(A,0) =

diag(A,1) =

diag(A,-1) =

例四：(x为例二中的x)

diag(x,1) =

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

0 0 0 0

diag(x,-2) =

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 3 0 0

9、从已存在的矩阵中生成新的矩阵（二）

triu(A) %生成一个和A同样大小的上三角矩阵。该矩阵的主对角线及以上元素取自A中的相应元素，其余元素都为0.

triu(A,k) %生成一个和A同样大小的上三角矩阵。该矩阵的第k条对角线及以上元素取自A中的相应元素，其余元素都为0.命令triu(A,0)等价于triu(A).

tril(A) %生成一个和A同样大小的下三角矩阵。该矩阵的主对角线及以下元素取自A中的相应元素，其余元素都为0.

tril(A,k) %生成一个和A同样大小的下三角矩阵。该矩阵的第k条对角线及以下元素取自A中的相应元素，其余元素都为0.命令tril(A,0)等价于tril(A).

对于每一个方阵A都有以下关系：

A = triu(A) +tril(A) – diag(diag(A));

A = triu(A,1) + tril(A,-1) + daig(diag(A)).

例一：

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

triu(A) =

1 2 3

0 5 6

0 0 9

triu(A,1) =

0 2 3

0 0 6

0 0 0

tril(A,-1) =

0 0 0

4 0 0

7 8 0

例二：

B =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 1 0 5

triu(B) =

1 2 3 4

0 6 7 8

0 0 0 5

tril(B,-1) =

0 0 0 0

5 0 0 0

9 1 0 0

10、矩阵旋转和矩阵变维

例一：

A =

1 2

3 4

5 6

fliplr(A) = flipdim(A,2) =

2 1

4 3

6 5

例二：

B =

2 2 3

4 6 6

7 8 10

flipud(B) = flipdim(B,1) =

7 8 10

4 6 6

2 2 3

例三：（例二中的B）

rot90(B) =

3 6 10

2 6 8

2 4 7

例四：（例二中的B）

rot90(B,2) =

10 8 7

6 6 4

3 2 2

例五：

OneMatrix = ones(3,4,2)

reshape(OneMatrix,3,8) =

1 1 1 1 1 1 1 1

例六：（例二中的B）

repmat(B,2,3) =

2 2 3 2 2 3 2 2 3

4 6 6 4 6 6 4 6 6

7 8 10 7 8 10 7 8 10

2 2 3 2 2 3 2 2 3

4 6 6 4 6 6 4 6 6

7 8 10 7 8 10 7 8 10

例七：

y = 3 ;

repmat(y,2,5) =

3 3 3 3 3

例八：

E =

1 1 1 1 1 1 1 1

C = zeros(3,8);

D = cat(3,E,C)

ans(:,:,1) =

1 1 1 1 1 1 1 1

ans(:,:,2) =

0 0 0 0 0 0 0 0

即在矩阵E中增加了一层零元素.

11、矩阵维数的扩展

(1)扩展列向量的列

将向量x=[9,10]扩展成xnew=[9,10,3,2],有下列办法：

方法一：xnew = x ;xnew(3) = 3 ;xnew(4) = 2;

方法二：xnew = [x 3 2]；

方法三：tmp = [0,15]; xnew = [x tmp]；

(2)扩展矩阵的列

将 A = [1 2;3 4]扩展成Anew = [1 2 11;3 4 12]，有下列方法：

方法一：y = [11;12],Anew = [A y]；

方法二：Anew = [A [11;12]]

(3)扩展矩阵的行

将A = [1 2;3 4]扩展成Anew = [1 2;3 4;13 14]，有下列办法：

方法一：z = [13 14],Anew = [A; z]

方法二：Anew = [A;[13 14]]

(4)矩阵的赋值扩展法

A = reshape(1:9,3,3)

A =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

A(4,4) = 111；

A =

1 4 7 0

2 5 8 0

3 6 9 0

0 0 0 111

A(:,6) = 222

A =

1 4 7 0 0 222

2 5 8 0 0 222

3 6 9 0 0 222

0 0 0 111 0 222

A(5,:) = 250

A =

1 4 7 0 0 222

2 5 8 0 0 222

3 6 9 0 0 222

0 0 0 111 0 222

250 250 250 250 250 250

12、数字序列

（1）数字序列一

i:k %创建从i开始、步长为1、到k结束的数字序列.数字i和k不一定是整数，该序列最后一个数小于或等于k.

i:j:k %创建创建从i开始、步长为j、到k结束的数字序列.数字i、j和k不一定是整数，该序列最后一个数小于或等于k.

(2)数字序列二

linspace(a,b) %在区间[a,b]上创建一个有100个元素的向量，这100个数把整个区间线性分隔.

linspace(a,b,n) %在在区间[a,b]上创建一个有n个元素的向量，这n个数把整个区间线性分隔.

logspace(a,b) %在区间[10*a,10*b]上创建一个有50个元素的向量，这50个数把整个区间对数分隔.

logspace(ab,n) %在区间[10*a,10*b]上创建一个有n个元素的向量，这n个数把整个区间对数分隔.

例一：

vect = 2:7

vect = 2 3 4 5 6 7

vect = 2:7.2

vect = 2 3 4 5 6 7

vect = 6:-1:2

vect = 6 5 4 3 2

vect = 1.2:-0.8:-3.2

1.2000 0.4000 -0.4000 -1.2000 -2.0000 -2.8000

注意：此时最后一个数为-2.8.

例二：

linspace(1,5,6)

ans =

1.0000 1.8000 2.6000 3.4000 4.2000 5.0000

13、定义子阵

A(i,j,……,k) %返回多维数组A中下标为(i,j,……,k)的元素值.

A(:,j) %返回二维矩阵A中第j列列向量.

A(i,:) %返回二维矩阵A中第j行行向量.

A(:,j:k) %返回二维矩阵A中的第j列，第j+1列，……，第k列列向量组成的子阵.

A(i:k,:) %返回二维矩阵A中的第i行，第i+1行，……，第k行行向量组成的子阵.

A(i:k,j:L) %返回二维矩阵A中的第i行到第k行行向量和第j列到第L列列向量组成的子阵.

A(:,:,……,:) %返回矩阵A本身.

A(:) %将矩阵A中的每列合成一个长的列向量.

A(j:k) %返回一个行向量，其中的元素为A(:)中的从第j个元素到第k个元素.

A([j1,j2,……]) %返回一个行向量，其中的元素为A(:)中的第j1,j2,……元素.

A(:,[j1,j2,……]) %返回矩阵A的第j1列、第j2列、……的列向量.

A([j1,j2,……],:) %回矩阵A的第j1行、第j2行、……的行向量.

A([i1,i2,……],[j1,j2,……]) %返回矩阵第i1行、第i2行等和第j1列、第j2列等的元素.

14、将二维矩阵合成三维矩阵

>> A1 = [1 2;3 4];

>> A2 = [3 4 ;5 6];

>> C(:,:,1)=A1;

>> C(:,:,2)=A2;

>> C

C(:,:,1) =

1 2

3 4

C(:,:,2) =

3 4

5 6

此时C为三维矩阵.

15、删除矩阵的行

【例一】

>> a = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]

a =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>> a = a([2,3],:)

a =

4 5 6

7 8 9

【例二】

>> a = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]

a =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>> a(1,:) = []

a =

4 5 6

7 8 9

16、删除矩阵的列

【例一】

>> a = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]

a =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>> a = a(:,[1,3])

a =

1 3

4 6

7 9

【例二】

>> a = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]

a =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>> a(:,2) = []

a =

1 3

4 6

7 9

17、数组寻址和排序

18、矩阵及数组运算

18.1矩阵加减

两矩阵必须同阶才可进行加减运算，另外MATLAB还特别作了扩充，允许矩阵与一个数量(即1×1矩阵)进行加减运算。

例如键入A=［1，2，3；4，5，6；7，8，9］，B=［1，4，7；2，5，8；3，6，9］，则 C=A+B 的结果显示为：

如果键入x=[-1，0，2]，则y=x-1的结果为：

18.2矩阵乘法

当左乘矩阵的列数等于右乘矩阵的行数时，两矩阵可以进行乘法。在MATLAB中，矩阵A乘以矩阵B应表示成A*B。

18.3矩阵除法

MATLAB中有两种除法，即左除“＼”与右除“／”。

若A为非奇异方阵，B为矩阵，则A\B，B/A的数学意义分别为。在MATLAB中，这两种运算也可以分别表示为inv(A)*B，B*inv(A)。

18.4数组的乘除运算

18.5数组的乘方

数组的乘方用符号“.^”来表示，而数组的乘方有三种形式。

1 向量的向量次方

例如：键入x =［1，2，3］， y =［4，5，6］，z=x.^y，则结果为：

1 32 729

它的数学意义是。

2 向量的数量次方

例如：键入x =［1，2，3］，z=x.^2，则结果为：

1 4 9

它的数学意义是。

3 数量的向量次方

例如：键入x =［1，2，3］，z=2.^x，则结果为：

2 4 8

它的数学意义是。

19、向量的关系运算

MATLAB提供了6种关系运算符：<（小于）、<=（小于或等于）、>（大于）、 >=（大于或等于）、 ==（等于）、 ~=（不等于）。

关系运算的运算法则为：

1 当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式的值为1，否则为0。

2 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同，它的元素由0或1组成。

3 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。

例如

若键入x=(1<2)

则x =

若键入A=[1，2，3；2，3，4]，B=[1，2，2；2，2，3]，C=(A<=B)

则 C =

1 1 0

1 0 0

若键入A=[1，2，3；2，3，4]，b=1，C=(A<=b)

则 C =

1 0 0

0 0 0

20、向量的逻辑运算

MATLAB提供了3种逻辑运算符：&（与）、|（或）、~（非）。

逻辑运算的运算法则为：

1 在逻辑运算中，确认非零元为真，用1表示，零元素为假，用0表示。

2 设参与逻辑运算的是两个标量a和b，那么

a&b a,b全为非零时，运算结果为1，否则为0。

a|b a,b中只要有一个非零时，运算结果为1；只有当a,b全为零时，运算结果为0。

~a 当a为零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0。

3 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算的结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由0或1组成。

4 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素是由0或1组成。

5 若对一个矩阵做逻辑非运算，那么将对矩阵中的每个元素按标量规则逐个取逻辑非，最终运算的结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由0或1组成。

6 在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。

例如，若键入A=[0，2，3；0，2，0]，B=[0，0，0；2，3，4]，A&B，A|B，~A，则其结果分别为

ans =

0 0 0

0 1 0

ans =

0 1 1

1 1 1

ans =

1 0 0

1 0 1

21、判断矩阵是否为空

Isempty(Matrix) ;

如果矩阵为空则返回1，否则返回0;

22、求行列式及化阶梯形

【例一】：求矩阵A的行列式：det(A)

例：A=[1 2;3 4] ;

则det(A) = -2 ;

【例二】：化阶梯形

A =

4 5 6

1 2 3

7 8 9

>> rref(A)

ans =

1 0 -1

0 1 2

0 0 0

23、求矩阵的转置及矩阵的秩

23.1矩阵的转置

求矩阵A的转置矩阵：A’

转置符号为单引号.

23.2求矩阵的秩

例：

>> X = [1 3 5;5 -9 0; 32 1 18];

>> rank(X)

ans =

24、求矩阵的逆矩阵及迹

求矩阵A的逆矩阵：inv(A)

求矩阵A的迹:trace(A)

例：a= [1 2;3 4];

则

trace(A) = 5.

25、矩阵及向量的最大值、最小值

25.1向量的最大值及最小值

max(P) :返回向量P的最大值，如果P中包含复数元素，则按模取最大值。
[y,i] = max(P) :返回向量P的最大值存入y，最大值的序号存入i,如果P中包含复数元素，则按模取最大值。
求向量的最小值的函数min(P)用法同max(P)。

25.2矩阵的最大值及最小值

max(A) : 返回一个行向量，向量的第i个元素为矩阵A的第i列的最大值。
[y,u] = max(A) : 返回行向量y和u，y记录A的每列的最大值，u记录每列最大值的行号。
max(A,[],dim) : dim取1时，该函数和max(A完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行的最大值。
求矩阵的最小值函数min(A)用法同max(A)。
使用max(max(A))可以求出矩阵中的最大元素，同理min(min(A))可以求出矩阵中的最小元素。

26、计算矩阵大小及元素个数

26.1计算矩阵大小

size(A)，返回的是矩阵A的列数和行数;

size(A,1)，返回矩阵A的行数；

size(A,2)，返回矩阵A的列数。

>>A = [1 2 5;3 4 9];

则size(A) = 2 3

size(A,1) = 2

size(A,2) = 3

26.2计算矩阵中的元素个数

使用函数numel()

当矩阵为一个行向量或者一个列向量时候，返回的该向量的长度，当矩阵为M*N时，返回值为M*N.

例：A = [1 2 3 4;5 6 7 8];

则numel(A) = 8.

26.3计算矩阵的维数

n = ndims(A);返回矩阵的维数，若A为三维数组，则n=3.

27、LU分解

矩阵的三角分解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。

函数: lu

格式 [L,U] = lu(X) %U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=X。

[L,U,P] = lu(X) %U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，满足LU=PX。

例：

>> X = [1 3 5;5 -9 0; 32 1 18];

>> [p,q,r] = lu(X)

p =

1.0000 0 0

0.1563 1.0000 0

0.0313 -0.3242 1.0000

q =

32.0000 1.0000 18.0000

0 -9.1563 -2.8125

0 0 3.5256

r =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

28、QR分解(求正交矩阵)

将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。

函数: qr

格式: [Q,R] = qr(A) %求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。

例：

>> X = [1 3 5;5 -9 0; 32 1 18];

>> [p ,q] = qr(X)

p =

0.0309 0.3156 0.9484

0.1543 -0.9390 0.3075

0.9875 0.1368 -0.0777

q =

32.4037 -0.3086 17.9300

0 9.5344 4.0415

0 0 3.3436

29、求特征值及特征向量

函数 eig

格式 d = eig(A) %求矩阵A的特征值d，以向量形式存放d。

【例一】

>> X = [1 3 5;5 -9 0; 32 1 18];

>> D = eig(X)

D =

24.8632

-3.7328

-11.1305

【例二】

>> X = [1 3 5;5 -9 0; 32 1 18];

>> [d,v] = eig(X)

d =

-0.2087 -0.4880 0.3641

-0.0308 -0.4632 -0.8545

-0.9775 0.7398 -0.3706

v =

24.8632 0 0

0 -3.7328 0

0 0 -11.1305

说明：矩阵d的列向量构成特征向量，v中的正对角线上的元素为特征值。

30、奇异值分解

函数 svd

格式 s = svd (X) %返回矩阵X的奇异值向量

[U,S,V] = svd (X) %返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足= U*S*V'。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。

[U,S,V] = svd (X,0) %得到一个“有效大小”的分解，只计算出矩阵U的前n列，矩阵S的大小为n×n。

【例】：

>> X = [1 3 5;5 -9 0; 32 1 18];

>> S = svd(X)

S =

37.1225

10.2231

2.7220

>> [U,S,V] = svd(X)

U =

-0.0902 0.4116 -0.9069

-0.1159 -0.9088 -0.4009

-0.9892 0.0689 0.1296

S =

37.1225 0 0

0 10.2231 0

0 0 2.7220

V =

-0.8707 -0.1885 0.4543

-0.0058 0.9276 0.3736

-0.4918 0.3227 -0.8087

>> [U,S,V] = svd(X,0)

U =

-0.0902 0.4116 -0.9069

-0.1159 -0.9088 -0.4009

-0.9892 0.0689 0.1296

S =

37.1225 0 0

0 10.2231 0

0 0 2.7220

V =

-0.8707 -0.1885 0.4543

-0.0058 0.9276 0.3736

-0.4918 0.3227 -0.8087