数学基础 - 矩阵的基本运算（Matrix Operations）

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矩阵的基本运算(Matrix Operations)

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目录

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三个初等行（列）变换

• 交换两行（列）的位置；
• 将常数$k(k \neq 0)$乘以某行(列)向量；
• 将某行（列）的元素乘以$\lambda$倍加到另一个行（列）上。

经过初等变换后，矩阵变化，但线性系统没变化

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加法(Plus)

两个行数、列数分别相等的矩阵（同型矩阵），加法运算才有意义。

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 8 \\ \end{bmatrix}$$

• 交换律：$A+B=B+A$
• 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$

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乘法(Multiply)

与数的乘法

将数与矩阵中的每一个元素分别相乘所得的矩阵。

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & -5 \\ \end{bmatrix} \times 4=\begin{bmatrix} 4 & -4 & 12 \\ 8 & 24 & -20 \\ \end{bmatrix}$$

• 结合律：$(ab)A=a(bA) \quad (a+b)A=aA+bA$
• 分配律：$a(A+B)=aA+aB$

与矩阵的乘法

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 8 & 2 \\ 15 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 71 & 18 \\ 170 & 48 \\ \end{bmatrix}$$

设矩阵$A=(a_{ij})_{m \times s},\,B=(b_{ij})_{s \times n},\,$则A与B的乘积C：

$$C=(c_{ij})_{m \times n}$$

• 行数与左矩阵A相同，列数与右矩阵B相同。
• C的第i行第j列的元素
  $$c_{ij}= \sum_{k=1}^{s} a_{ik}b_{kj}(i=1,2, \cdots ,m; \; j=1,2, \cdots ,n;)$$
• 不满足交换律

哈达马乘积（Hadamard product）

约束与加法相同，只是对应元素运算变为乘法。记作 $\circ$ 或 $*$ 或 $\odot$。

注意不要混淆，与一些计算机语言中的星号不同，这里星号（$*$）不是指乘法（$\times$）。为了避免混淆，一般使用 $\circ$ 或 $\odot$ 。

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 6 & 16 \\ \end{bmatrix}$$

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转置(Transpose)

记作$A^T$或$A^\prime$

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 10 & -1 \\ 5 & 2 & 7 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad A^{\prime}=A^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \\ 10 & 7 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

• $(A^T)^T=A$
• $(A+B)^T=A^T+B^T$
• $(AB)^T=B^TA^T$
• $(aA)^T=aA^T,\, \text{a是常数}$

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方阵的行列式(Determinant)

记作$det(A)$或$|A|$

• 只有方阵才能定义行列式
• 对角阵与三角阵的行列式$|I_n|=1$
• $|kA_n|=k^n|A_n|$
• AB与BA不一定相等，但是$|AB|=|BA|=|A||B|$可能成立

克莱默法则(Cramer)

对线性方程组，如果有系数行列式$D \neq 0$，则方程组有唯一解

$$x_1= \frac{D_1}{D}, \cdots, x_j= \frac{D_j}{D}, \cdots, x_n= \frac{D_n}{D}$$
其中 $D_j$是把系数行列式 $D$中的第j列的元素用方程组右边系数替换后的n阶行列式

雅可比行列式(Jacobi)

当n元变量做线性变换时，行列式就是其微元倍数，即$d{\bf x}=|A|d{\bf t}$

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逆(Inverse)

设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得

$$AB=BA=I_n$$
则称A为可逆矩阵，B为A的逆阵，记作 $B=A^{-1}$

• $(A^{-1})^{-1}=A$
• $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}(k \neq 0)$
• $\text{A、B均是同阶可逆矩阵，则}(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
• $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$

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秩(Rank)

• 秩的算法：仅用初等行（列）变化把矩阵A化为阶梯矩阵，阶梯矩阵中不为0向量的行（列）数为矩阵A的秩。记作$R(A)$
• 阶梯矩阵：从上往下数，每一行从左到右第一个不为0的元素所在列严格递增。
• 行秩=列秩

$$A=\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 5 & 0 \\ 3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\ 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_4} \begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 3 & -2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 5 & -3 \\ 3 & 2 & 0 & 5 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

$$\underrightarrow { \begin{matrix} r_2 - 3r_1 \\ r_3 - 2r_1 \\ r_4 - 3r_1 \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & -20 & 15 & 9 & -13 \\ 0 & -12 & 9 & 7 & -11 \\ 0 & -16 & 12 & 8 & -12 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow { \begin{matrix} r_4 \div (-4) \\ r_2 \leftrightarrow r_4 \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 3 \\ 0 & -12 & 9 & 7 & -11 \\ 0 & -20 & 15 & 9 & -13 \\ \end{bmatrix}$$

$$\underrightarrow { \begin{matrix} r_3 + 3r_2 \\ r_4 + 5r_2 \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{r_4 + r_3} \begin{bmatrix} 1 & 6 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & 4 & -3 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

由于A的阶梯矩阵的前三行是非零向量，所以$R(A)=3$

• 零矩阵的秩是0
• 如果$A_{m \times n}$，则 $0 \leq R(A) \leq min\{m,n\}$
• $R(AB) \leq min\{R(A),R(B)\}$
• 如果A可逆，那么$R(B)=R(AB)$
• 如果A是n阶方阵，$R(A) = n \iff |A| \neq 0 \iff A\text{可逆}$
• 如果A是n阶方阵，$R(A) < n \iff |A| = 0 \iff A\text{不可逆}$

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迹(Trace)

方阵A的对角线之和称为迹，记作$tr(A)$，即

$$tr(A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{ii}$$

• $tr(A) = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_i$，即$tr(A) = \text{其特征值之和}$
• $tr(AB) = tr(BA)$

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