以下证明来自数学竞赛dalao， 大刘，感谢大刘的技术支持
二项式定理证明（究极详细版暴拆）
我们都知道\((a +b) ^ n = (a + b)(a + b)...(a + b)(a + b)\) 一共有n个a+b相乘，
可见，将右边暴拆，即依次在右边第一个a+b中任意选一项，在第二个a+b中任意选一项.....
在第n个a+b中任意选一项，一共会产生n个项相乘，
那我们假设其中选的a的个数为k，b的个数那就是n-k，
我们将所有得到的结果加起来，因此\((a+b)^n\)的展开式具有形式：
\[(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n a_{n,k}*a^k b^{n - k} \]
其中\(a_{n, k}\)表示每一个项\(a^kb^{n - k}\)在整个展开过程中出现的次数
显然，这就是从上边n个a+b里边无序不重复的选择k个a的方式数
从组合数的定义可以看出这就是\(C_n^k\)
即\(\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k = 0}^n C_n^k *a^k b^{n - k}\)
也就是常见的\(\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k = 0}^n {n \choose k} *a^k b^{n - k}\)
\(C_n^k={n \choose k}\) 为二项式系数
外赠广义二项式定理
对于\(\forall x \in R 且 a \neq 0\) 有\(\displaystyle (1+x)^a=\sum_{k = 0}^{\infty}C^n_a x^n \ \ \ \ (|x| < 1)\)