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布丁酱又来开新坑。
P2520 向量
这里的证明要用到裴蜀定理：对任意整数 $a,b$ ， $ax+by=m$ 有整数解当且仅当 $m=k*gcd(a,b)$ 。
其中一个推论： $a,b$ 互质当且仅当存在 $x,y$ 使得 $ax+by=1$ ，这里好像没啥用。
每个向量和他的相反向量取其中之一就可以了，剩下的交给整系数去调节。
设 $k(a,b)+l(a,-b)+m(b,a)+n(b,-a)=(x,y)$ ，变形得 $(k+l)a+(m+n)b=x$ 且 $(k-l)b+(m-n)a=y$ 。
由裴蜀定理，得 $(k+l),(m+n),(k-l),(m-n)$均有整数解的充要条件是 $x=k_1*gcd(a,b)$ 且 $y=k_2*gcd(a,b)$ 。
现在要使 $k,l,m,n$ 有整数解，设 $(k+l)=z_1,(k-l)=z_2$ ，所以可以反解出 $k=\frac{z_1+z_2}{2}$ 和 $l=\frac{z_1-z_2}{2}$ 。
换言之， $z_1,z_2$ 要奇偶性相同。同理另外两个也要奇偶性相同。