计算机视觉 图像形成 几何图形和变换 2D变换

一、2D变换

        在上一节，在定义了我们的基本概念之后，我们现在可以将注意力转向如何转换它们。最简单的转换发生在 2D 平面中，如下图所示。

基本的 2D 平面变换

1、平移(Translation)

         二维平移可以写成 或，其中是的单位矩阵。

        又或者可以表示成

        其中0是零向量。使用矩阵会产生更紧凑的表示法，而使用全秩矩阵（可以通过附加 行从矩阵获得）可以使用矩阵进行链式变换乘法以及计算逆变换。 请注意，在任何两边都出现诸如的增广向量的方程中，它总是可以用完全齐次向量代替。

2、旋转+平移(Rotation + Translation) 

        这种变换也称为2D刚体运动或2D欧几里得变换（因为保留了欧几里得距离）。可以写成 或，其中，是一个正交旋转矩阵，即和。

3、缩放旋转(Scaled rotation) 

        也称为相似变换，这种变换可以表示为 ，其中是任意比例因子。它也可以写成，其中不要求 。相似度变换保留了线之间的角度。

4、仿射变换

        仿射变换写为，其中 A 是任意矩阵，即，，平行线在仿射变换下保持平行。

Opencv学习笔记 常用函数、基础知识三 仿射变换仿射变换代表的是两幅图之间的关系。1、一个任意的仿射变换都能表示为 乘以一个矩阵 (线性变换) 接着再 加上一个向量 (平移).2、用仿射变换来处理，旋转 (线性变换)，平移 (向量加)，缩放操作 (线性变换)https://skydance.blog.csdn.net/article/details/108885176

5、透视变换

         透视变换也成为单应性，在齐次坐标上运行，

Opencv学习笔记 透视变换(perspective transform)拉伸、收缩、扭曲、旋转是图像的几何变换，在三维视觉技术中大量应用到这些变换，又分为仿射变换和透视变换。仿射变换通常用单应性建模，利用cvWarpAffine解决密集映射，用cvTransform解决稀疏映射。仿射变换可以将矩形转换成平行四边形，它可以将矩形的边压扁但必须保持边是平行的，也可以将矩形旋转或者按比例变化。透视变换提供了更大的灵活性，一个透视变换可以将矩阵转变成梯形。当然，平行四边形也是梯形，所以仿射变换是透视变换的子集。https://skydance.blog.csdn.net/article/details/108914204

6、二维变换的层次结构

         将它们视为一组（可能受限的） 矩阵在二维齐次坐标向量上运行的最简单方法。Hartley 和 Zisserman (2004) 包含对二维平面变换层次结构的更详细描述。

        上表显示了坐标变换的层次结构，列出了变换名称、矩阵形式、自由度数、它保留的几何属性以及助记符图标。

        上述变换形成了一组嵌套的组，即，它们在组合下是封闭的，并且具有属于同一组的逆。 每个（更简单的）组都是它下面更复杂组的子组。 最近的一些机器人教程（Dellaert 和 Kaess 2017；Blanco 2019；Sol`a、Deray 和 Atchuthan 2019）讨论了此类李群及其相关代数（原点处的切线空间）的数学，其中 2D 旋转 刚性变换称为 SO(2) 和 SE(2)，分别代表特殊正交群和特殊欧几里得群。