【计算机视觉中的多视图几何系列】深入浅出理解针孔相机模型

温故而知新，可以为师矣！

一、参考资料

《计算机视觉中的多视图几何-第五章》-Richard Hartley, Andrew Zisserman.

二、针孔模型相关介绍

1. 重要概念

1.1 投影中心/摄像机中心/光心

投影中心称为摄像机中心，也称为光心。投影中心位于一个欧式坐标系的原点。

1.2 图像平面/聚焦平面

平面 $Z=f$ 被称为图像平面或聚焦平面。

1.3 主轴/主射线

摄像机中心到图像平面的垂线称为摄像机的主轴或主射线。

1.4 主点

主轴与图像平面的交点称为主点。

1.5 主平面（摄像机）

过摄像机中心平行于图像平面的平面称为摄像机的主平面。

2. 摄像机投影

从3维世界降到2维图像是一个投影过程，在此过程中我们失去了一维。建模这个过程的常用方式是利用中心投影，由空间中的一个点引出一条从3D世界点到空间中的一个固定点（投影中心）的射线，这条射线将与空间中被选为图像平面的具体平面相交。射线与图像平面的交点表示该点的图像。

在针孔摄像机模型下，3维空间坐标为 $X=(X,Y,Z{)}^T$ 的点 $X$ 被投影到图像平面上的一点，该点是连接点 $X$ 与投影中心的直线与图像平面的交点。根据相似三角形，可以很快地算出点 $(X,Y,Z{)}^T$ 被映射到图像平面上点 $(fX/Z,fY/Z,f{)}^T$ 。略去最后一个图像坐标之后，从世界坐标到图像坐标的中心投影是：
$$(X,Y,Z{)}^T\mapsto (fX/Z,fY/Z{)}^T(1)$$
这是从3维欧式空间 ${\text{IR}}^3$ 到 2维欧式空间 ${\text{IR}}^2$ 的一个映射。

3. 投影矩阵

齐次坐标的概念：齐次坐标就是用N+1维去描述一个N维的坐标。
一个点的齐次坐标 $x=(x_1,x_2,x_3{)}^T$ （它是3维向量）和非齐次坐标 $(x,y{)}^T$ （它是2维向量）。

如果用齐次矢量表示世界和图像点，那么中心投影可以简单地表示成齐次坐标之间的线性映射。具体地说，$公式(1)$ 可以写成如下矩阵乘积形式：
$$[\begin{array}{c}\mathbf{X}\\ \mathbf{Y}\\ \mathbf{Z}\\ 1\end{array}]\mapsto \left[\begin{array}{c}f\mathbf{x}\\ f\mathbf{y}\\ \mathbf{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}f& & & 0\\ & f& & 0\\ & & 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{X}\\ \mathbf{Y}\\ \mathbf{Z}\\ 1\end{array}\right](2)$$
其中 $\left[\begin{array}{cccc}f& & & 0\\ & f& & 0\\ & & 1& 0\end{array}\right]$ 表示 $3\ast 4$ 齐次摄像机投影矩阵，记作 $P$。 $P$ 可以写成 $diag(f,f,1)[I|0]$，其中 $diag(f,f,1)$是对角矩阵，而 $[I|0]$表示矩阵分块成一个 $3\ast 3$​ 恒等矩阵加上一个零列矢量。那么，中心投影的针孔模型的摄像机投影矩阵可以表示为：
$$P=diag(f,f,1)[I|0]$$

恒等矩阵的概念：恒等矩阵，又称为单位矩阵，是一个方阵，其对角线上的元素为1，其余元素均为0，记作$I$或者$E$。恒等矩阵的大小由其维度决定，例如3阶恒等矩阵是一个3x3的矩阵。

恒等矩阵在线性代数中具有很多重要的性质。例如，对于任意矩阵A，恒等矩阵1与A的乘积等于A本身。这是因为恒等矩阵的每个元素与A的对应元素相乘，并将其相加，得到的结果就是A本身。这个性质在矩阵的转置、逆运算等方面都有着重要的应用。

恒等矩阵在深度学习中也具有重要的作用。在神经网络中，恒等矩阵常被用作初始化权重矩阵。初始化权重矩阵时，将其设置为恒等矩阵可以使得神经网络的初始状态更稳定。这是因为恒等矩阵具有一定的对称性和平衡性，可以避免梯度消失或梯度爆炸等问题，有助于提高模型的训练效果。

恒等矩阵还可以用于矩阵的相似性度量。在图像处理和模式识别中，我们经常需要比较两个矩阵的相似性。通过计算两个矩阵之间的差异，可以得到它们的相似性度量。而恒等矩阵作为一个特殊的矩阵，与其他矩阵相比具有明显的差异，可以用于度量矩阵之间的相似性。

我们现在引入如下记号：世界点 $X$ 用4维齐次矢量 $(X,Y,Z,1)$表示；图像点 $x$ 被表示成3维齐次矢量的形式。则 $公式(2)$ 可以紧凑地写为：
$$x=PX$$

4. 主点偏置

$公式(1)$ 假定图像平面的坐标原点在主点上。实际情况可能不是这样，如下图所示：

摄像机坐标系 $(x_{cam},y_{cam}{)}^T$的坐标原点为摄像机中心，该原点在图像平面的投影是主点p。图像坐标系 $(x,y{)}^T$ 的坐标原点为图像的左下角。

因此一般情形的映射为：
$$(X,Y,Z{)}^T\mapsto (fX/Z+p_x,fY/Z+p_y{)}^T$$
其中 $(p_x,p_y{)}^T$ 是主点的坐标。该方程用齐次坐标可以表示为：
$$[\begin{array}{c}\mathbf{X}\\ \mathbf{Y}\\ \mathbf{Z}\\ 1\end{array}]\mapsto \left[\begin{array}{c}f\mathbf{x}+\mathbf{Z}{\mathbf{p}}_{\mathbf{x}}\\ f\mathbf{y}+\mathbf{Z}{\mathbf{p}}_{\mathbf{y}}\\ \mathbf{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}f& & p_x& 0\\ & f& p_x& 0\\ & & 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{X}\\ \mathbf{Y}\\ \mathbf{Z}\\ 1\end{array}\right](3)$$
若记
$$K=\left[\begin{array}{ccc}f& & p_x\\ & f& p_x\\ & & 1\end{array}\right](4)$$
则 $公式(3)$ 有一个简洁的形式：
$$x=K[I|0]X_{cam}(5)$$
矩阵 $K$ 称为摄像机标定矩阵，在$公式(5)$ 中我们记 $(X,Y,Z,1{)}^T$ 为 $X_{cam}$ 是为了强调摄像机被设定在一个欧式坐标系的原点且主轴沿着 $z$ 轴的指向，而点 $X_{cam}$ 按此坐标系表示。这样的坐标系可以称为摄像机坐标系。

摄像机坐标系的原点为摄像机中心，$z$轴方向指向主轴。

5. 摄像机旋转与位移

一般，3维空间点采用不同的欧式坐标系表示，称为世界坐标系。摄像机坐标系与世界坐标系通过旋转和平移相联系。

世界坐标系和摄像机坐标系之间的欧式转换

如果 $\tilde{X}$ 是一个3维非齐次矢量，表示世界坐标系中一点的坐标，而 ${\tilde{X}}_{cam}$ 是以摄像机坐标系来表示的同一点，那么我们可以记 ${\tilde{X}}_{cam}=R\left(\tilde{X}-\tilde{C}\right)$ ，其中 $\tilde{C}$ 表示摄像机中心在世界坐标系中的坐标，$R$ 是一个 $3\ast 3$ 的旋转矩阵，表示摄像机坐标系的方位。这个方程在齐次坐标系下可以写成：
$$X_{cam}=\left[\begin{array}{cc}R& -R\tilde{C}\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& -R\tilde{C}\\ 0^T& 1\end{array}\right]\mathbf{X}(6)$$
把它与 $公式(5)$ 结合起来形成公式：
$$x=KR\left[I|-\tilde{C}\right]X(7)$$
其中 $X$ 用世界坐标系表示。这是由一个针孔模型给出的一般映射。

6. 摄像机内部参数与外部参数

由 $公式(7)$ 可以看出，一般的针孔摄像机 $P=KR\left[I|-\tilde{C}\right]$ 有9个自由度：3个来自 $K（元素f,p_x,p_y）$，3个来自$R$，3个来自 $\tilde{C}$。包含在 $K$ 中的参数称为摄像机内部参数或摄像机的内部校准。包含在 $R$ 和 $\tilde{C}$ 中的参数与摄像机在世界坐标系中的方位和位置有关，并称为外部参数或外部校准。

为方便起见，通常摄像机中心不明显标出，而把世界坐标系到图像坐标系的变换表示成 ${\tilde{X}}_{cam}=R\tilde{X}+t$。在次情形时摄像机矩阵简化成：
$$P=k[R|t](8)$$
其中根据 $公式(7)$ ，$t=-R\tilde{C}$。

7. CCD摄像机

对于基本针孔模型，假定图像坐标在两个轴向上有等尺度的欧式坐标。但CCD摄像机的像素可能不是正方形。如果图像坐标以像素来测量，那么需要在每个方向上引入非等量尺度因子。具体地说，如果在 $x$ 和 $y$ 方向上图像坐标单位距离的像素数分别是 $m_x$ 和 $m_y$，那么由世界坐标到像素坐标的变换由 $公式(4)$ 左乘一个附加的因子 $diag(m_x,m_y,1)$ 而得到。因此一个CCD摄像机标定矩阵的一般形式是：
$$K=\left[\begin{array}{ccc}{a}_x& & x_0\\ & a_y& y_0\\ & & 1\end{array}\right](9)$$
其中 $a_x=f{m}_x$ 和 $a_y=f{m}_y$ 分别把摄像机的焦距换算成 $x$ 和 $y$ 方向的像素量纲。同理，${\tilde{x}}_0=(x_0,y_0{)}^T$ 是用像素量纲表示的主点，它的坐标是 $x_0=m_x{p}_x$ 和 $y_0=m_y{p}_y$。因此，一个CCD摄像机有10个自由度。