44-最长上升子序列

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　　　　　　　　　　　　最长上2升子序列（LIS）。

【题目描述】

给定N个数，求这N个数的最长上升子序列的长度。

【样例输入】

2 5 3 4 1 7 6

【样例输出】

什么是最长上升子序列？就是给你一个序列，请你在其中求出一段不断严格上升的部分，它不一定要连续。

就像这样：2,3,4,7和2,3,4,6就是序列2 5 3 4 1 7 6的两种选取方案。最长的长度是4.

那么，怎么求出它的最大上升子序列长度为4呢？这里介绍两种方法，都是以动态规划为基础的。

首先，我们先介绍较慢（O（ $n^{2}$

这种方法就是每一次寻找“可以接下去的”，换句话说，设原序列为a，则

当 $a_{j} < a_{i} (j < i)$

对于每一个数，他都是在“可以接下去”的中，从前面的最优值+1转移而来。

因此，这个算法是可以求出正确答案的。复杂度很明显，外层i枚举每个数，内层j枚举目前i的最优值，即O（ $n^{2}$

那么，有没有更快的方法呢？当然有。这回要用到二分。

我们回想一下，在上面O（ $n^{2}$

没错，就是内层用于更新i的循环。因为每一次他都要查找一遍，效率并不高。

回到题目，我们发现，他只要我们求长度，所以？

我们可以模拟一个栈。

所以每遇到一个比栈顶元素大的数，就放进栈里，遇到比栈顶元素小的就二分查找前边的元素，找到一个“最应该被换掉的元素”，用新数去更新前边的元素。

这个算法不难证明也是正确的。因为前面每一次的枚举都换成了二分，内层的复杂度从 $n$

注意： 两种方法都是用来找到 最大长度的，第一个方法改编下可以记录下一种满足要求的序列，而第二种方法只能得出正确的长度，里面存放的数据，不能保证是合法的序列。

第一种方法：

import java.util.Scanner;

class Main1{
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		int n = cin.nextInt();
		int[] a = new int[n];
		
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			a[i] = cin.nextInt();
		}
		int num[] = new int[n];
		int pre[] = new int[n];
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			num[i] = 1;
			for(int j = 0; j < i; j++) {
				if(a[i] > a[j] && num[j] + 1 > num[i]) {
					num[i] = num[j] + 1;
					pre[i] = j; //记录它的前一个点
				}
			}
		}
		
		int max = -0x3f3f3f3f;
		int x = 0;
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			if(max < num[i]) { //只找到第一个最大的
				max = num[i];  
				x = i;
			}
		}
		System.out.println(max);
		for(int i = 0; i < max; i++) {
			System.out.print(a[x] + " ");
			x = pre[x];
		}
	}
	
}

/*
7
2 5 3 4 1 7 6

*/

第二种方法：

import java.util.Scanner;

class Main2{
	public static void main(String[] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		int n = cin.nextInt();
		int[] a = new int[n];
		
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			a[i] = cin.nextInt();
		}
		int cnt = 0;
		int num[] = new int[n];
		num[0] = a[0];
		for(int i = 1; i < n; i++) {
			if(a[i] < num[cnt]) {
				int x = erfen(num, 0, cnt, a[i]);
				System.out.println("find: w " + num[x] + ", a[i] " + a[i]);
				num[x] = a[i];
			}
			else {
				num[++cnt] = a[i];
			}
		}
		
		System.out.println("最长上升子序列长度为：" + (cnt + 1));
		// 以下为一种：注意这个不一定是合法的序列，但是保证长度一定正确：
		for(int i = 0; i <= cnt; i++) {
			System.out.print(num[i] + " ");
		}
		 
	}
	public static int erfen(int num[], int left, int right, int key) {
		if(left < right && num[left] > key) {
			return 0;
		}
		int mid;
		while(left < right) { // 去掉等号就是返回最小大于key的元素下标，最大小于的则是它加一
			mid = left + (right - left) / 2;
			if(key == num[mid]) {
				return mid;
			}
			else if(key < num[mid]) {
				right = mid - 1;
			}
			else {
				left = mid + 1;
			}
		}
		return left;
	}
}

/*
7
2 5 3 4 1 7 6

*/

44-最长上升子序列

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