有限元笔记7-应力平衡方程张量形式的推导

最近的工作开始考虑对应力场的耦合了，打算写一下张量形式下的应力平衡方程的弱形式推到，免得时间久了会忘。

应力平衡方程的张量形式为：

σ i j, j + b i = 0

$\sigma_{ij,j}+b_{i}=0$
其中应力张量与其对应的应变又满足如下本构关系：

σ i j = C i j k l ε k l

$\sigma_{ij}=\mathbb{C}_{ijkl}\varepsilon_{kl}$
针对小应变问题，应变与位移又满足如下几何关系：

ε i j = 1 2 (u i, j + u j, i)

$\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$
写成矩阵形式，则为：

ε = 1 2 (\nabla u + \nabla u T)

$\mathbf{\varepsilon}=\frac{1}{2}(\mathbf{\nabla}\mathbf{u}+\mathbf{\nabla u}^{T})$

如果需要考虑其他场的耦合，比如热膨胀问题和扩散问题，由于eigen strain的存在，对应的本构方程需要写为如下形式：

σ i j = C i j k l (ε k l - [c - c r e f] Ω 3 δ k l)

$\sigma_{ij}=\mathbb{C}_{ijkl}(\varepsilon_{kl}-[c-c_{ref}]\frac{\Omega}{3}\delta_{kl})$
其中

δij $\delta_{ij}$ 为Kronecker delta符号。

该问题对应的边界条件为：

u i = u ¯ i Γ D

$u_{i}=\bar u_{i}\quad\Gamma_{D}$

σ i j n j = t ⃗ i Γ N

$\sigma_{ij}n_{j}=\vec{t}_{i}\quad\Gamma_{N}$
其中

ΓD∩ΓN=0 $\Gamma_{D}\cap\Gamma_{N}=\mathbb{0}$ ,

ΓD∪ΓN=S $\Gamma_{D}\cup\Gamma_{N}=S$ .

进而利用虚位移 $\delta u_{i}$ 可以得到系统的虚功的变分形式为：

δ Π = \int Ω (σ i j, j + b i) δ u i d Ω

$\delta\Pi=\int_{\Omega}(\sigma_{ij,j}+b_{i})\delta u_{i}d\Omega$
让其为0，并带入对应的边界条件就可以得到对应的弱形式为：

\int Ω σ i j n ⃗ j \cdot δ u i d Γ - \int Ω σ i j \nabla δ u i d Ω + \int Ω b i δ u i d Ω = 0

$\int_{\Omega}\sigma_{ij}\vec{n}_{j}\cdot\delta u_{i}d\Gamma-\int_{\Omega}\sigma_{ij}\nabla\delta u_{i}d\Omega\\+\int_{\Omega}b_{i}\delta u_{i}d\Omega=0$
将其写为有限元的离散形式就可以得到residual为：

R I u = - \int Ω (B I) T σ d Ω + \int Ω b N I d Ω

$R_{u}^{I}=-\int_{\Omega}(B^{I})^{T}\mathbf{\sigma}d\Omega +\int_{\Omega}\mathbf{b}N^{I}d\Omega$
其中

B $B$ 为位移对应的梯度算符，定义如下：

B = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ \partial N I \partial x 00 \partial N I \partial y 0 \partial N I \partial z 0 \partial N I \partial y 0 \partial N I \partial x \partial N I \partial z 0 00 \partial N I \partial z 0 \partial N I \partial y \partial N I \partial x ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$B=\begin{bmatrix} \frac{\partial N^{I}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial N^{I}}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & \frac{\partial N^{I}}{\partial z} \\ \frac{\partial N^{I}}{\partial y} & \frac{\partial N^{I}}{\partial x} & 0\\ 0 & \frac{\partial N^{I}}{\partial z} & \frac{\partial N^{I}}{\partial y} \\ \frac{\partial N^{I}}{\partial z} & 0& \frac{\partial N^{I}}{\partial x} \end{bmatrix}$
其中

NI $N^{I}$ 为当前单元上第

I $I$ 个点的形函数。

其对应的刚度矩阵就可以推得：

K I J u u = - \partial R I u \partial u J = \int Ω (B I) T C B J d Ω

$K_{\mathbf{uu}}^{IJ}=-\frac{\partial R_{\mathbf{u}}^{I}}{\partial\mathbf{u}^{J}} =\int_{\Omega}(B^{I})^{T}\mathbb{C}B^{J}d\Omega$

而应力 $\sigma$ 和应变 $\varepsilon$ 可以有如下公式得到：

σ 6 \times 1 = B 6 \times 3 N \cdot U 3 N \times 1

$\sigma_{6\times 1}=\mathbf{B}_{6\times 3N}\cdot\mathbf{U}_{3N\times 1}$

ε 6 \times 1 = C 6 \times 6 \cdot B 6 \times 3 N \cdot U 3 N \times 1

$\varepsilon_{6\times 1}=\mathbb{C}_{6\times 6}\cdot\mathbf{B}_{6\times 3N}\cdot\mathbf{U}_{3N\times 1}$
对应的代码实现为：
AsFem-Solid3D.CPP.

实现如下：

void Solid3D(const int &isw,const int &ne,const int &ndim,const MatrixXd &U,const MatrixXd &Coords,Material materials,const Vector2d &ctan,const Vector2d &TimeInfo,VectorXi &IX,MatrixXd &Proj,MatrixXd &AMATRX,VectorXd &RHS)
{
    // AsFem's standard element for 3D elastic problem
    const int nNodes=Coords.rows();
    int iInd,jInd,gpInd,ngp,Lint;
    int i,j,k;
    double xi,eta,zeta,xsj;
    MatrixXd shp(nNodes,4),gs;
    MatrixXd B(6,3*nNodes),BT(3*nNodes,6),S(6,3*nNodes),EK(3*nNodes,3*nNodes);
    MatrixXd D(6,6);
    VectorXd valp(12);

    double E,Mu;
    VectorXd stress(6),strain(6);

    E=materials.IthParameter(1);
    Mu=materials.IthParameter(2);

    // Set elastic matrix D
    double term=E*(1-Mu)/((1+Mu)*(1-2*Mu));
    double term1=Mu/(1-Mu);
    double term2=(1-2*Mu)/(2*(1-Mu));
    D.fill(0.0);
    D(0,0)=  1.0*term;D(0,1)=term1*term;D(0,2)=term1*term;
    D(1,0)=term1*term;D(1,1)=  1.0*term;D(1,2)=term1*term;
    D(2,0)=term1*term;D(2,1)=term1*term;D(2,2)=  1.0*term;
    D(3,3)=term2*term;D(4,4)=term2*term;D(5,5)=term2*term;



    ngp=2;
    if(nNodes==20||nNodes==27) ngp=3;

    if(ndim!=3)
    {
        cout<<"Error:solid3d is invalid for dim="<<ndim<<endl;
        abort();
    }


    gs=MatrixXd(ngp*ngp*ngp,1+ndim);
    Int3D(ngp,Lint,gs);


    AMATRX.setZero();
    RHS.setZero();
    Proj.setZero();

    for(gpInd=0;gpInd<Lint;++gpInd)
    {
        xi=gs(gpInd,1);
        eta=gs(gpInd,2);
        zeta=gs(gpInd,3);
        Shp3D(ndim,xi,eta,zeta,Coords,shp,xsj,false);
        xsj*=gs(gpInd,0);
        for(i=0;i<nNodes;++i)
        {
            B(0,3*i  )=shp(i,1);
            B(0,3*i+1)=0.0;
            B(0,3*i+2)=0.0;

            B(1,3*i  )=0.0;
            B(1,3*i+1)=shp(i,2);
            B(1,3*i+2)=0.0;

            B(2,3*i  )=0.0;
            B(2,3*i+1)=0.0;
            B(2,3*i+2)=shp(i,3);

            B(3,3*i  )=shp(i,2);
            B(3,3*i+1)=shp(i,1);
            B(3,3*i+2)=0.0;

            B(4,3*i  )=0.0;
            B(4,3*i+1)=shp(i,3);
            B(4,3*i+2)=shp(i,2);

            B(5,3*i  )=shp(i,3);
            B(5,3*i+1)=0.0;
            B(5,3*i+2)=shp(i,1);
        }

        BT=B.transpose();
        S=D*B;
        EK=BT*S;
        for(i=0;i<6;++i)
        {
            strain(i)=0.0;
            stress(i)=0.0;
            for(j=0;j<3*nNodes;++j)
            {
                strain(i)+=B(i,j)*U(j,0);
                stress(i)+=S(i,j)*U(j,0);
            }
        }


        if(isw%3==0)
        {
            // compute residual
            for(iInd=0;iInd<3*nNodes;++iInd)
            {
                for(k=0;k<6;++k)
                {
                    RHS(iInd)+=-BT(iInd,k)*stress(k)*xsj;
                }
                // compute stiffness matrix
                if(isw==6)
                {
                    for(jInd=0;jInd<3*nNodes;++jInd)
                    {
                        AMATRX(iInd,jInd)+=EK(iInd,jInd)*xsj*ctan(0);
                    }
                }
            }
        }
        else if(isw==8)
        {
            // For projection
            valp.setZero();
            valp( 1-1)=strain(1-1);
            valp( 2-1)=strain(2-1);
            valp( 3-1)=strain(3-1);
            valp( 4-1)=strain(4-1);
            valp( 5-1)=strain(5-1);
            valp( 6-1)=strain(6-1);
            valp( 7-1)=stress(1-1);
            valp( 8-1)=stress(2-1);
            valp( 9-1)=stress(3-1);
            valp(10-1)=stress(4-1);
            valp(11-1)=stress(5-1);
            valp(12-1)=stress(6-1);
            Projection(valp,shp,xsj,Proj);
        }
    }
}

结果如下：
这里写图片描述

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