有限元笔记8-一维单元二阶偏导的推导

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对于拉普拉斯算符 $\Delta$ ，在做弱形式的时候通过格林公式可以将其转换为低一阶的梯度算符 $\nabla$ 来进行计算。但是对更高阶的算符，比如 $\nabla(\Delta u)$ 这样的计算，常规的一阶偏导就不够用了，这个时候就需要二阶偏导数，也就是：

$$\frac{\partial^{2}N}{\partial x^{2}},\frac{\partial^{2}N}{\partial x\partial y},\frac{\partial^{2}N}{\partial y^{2}}$$

先来看一维的情形，在等参单元中，全局坐标($x,y$)与自然坐标($\xi,\eta$)满足一定的转换关系，也就是可以互相写为对方的函数：

$$x=x(\xi,\eta)\quad y=y(\xi,\eta)$$
同时也会有:
$$\xi=\xi(x,y)\quad\eta=\eta(x,y)$$

对任意等参一维单元(只考虑沿 $x$ 方向变化，注意，一维单元虽然是一维，但可以是三维空间下的一维单元)，我们定义该单元上第 $i$ 个单元节点的形函数为：

$$N_{i}=N_{i}(\xi)$$

在等参空间中对其求偏导可以得到：

$$\frac{\partial N_{i}}{\partial\xi}=\frac{\partial N_{i}}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial\xi}$$

再对其求一次偏导可以得到：

$$\frac{\partial}{\partial\xi}(\frac{\partial N_{i}}{\partial\xi}) =\frac{\partial}{\partial\xi}(\frac{\partial N_{i}}{\partial x})\cdot\frac{\partial x}{\partial\xi} +\frac{\partial N_{i}}{\partial x}\cdot\frac{\partial^{2}x}{\partial\xi^{2}} \\ =\frac{\partial^{2}N_{i}}{\partial x^{2}}\cdot(\frac{\partial x}{\partial\xi})^{2} +\frac{\partial N_{i}}{\partial x}\cdot\frac{\partial^{2}x}{\partial\xi^{2}}$$

将我们需要的 $\frac{\partial^{2}N_{i}}{\partial x^{2}}$ 移到等式右边就可以得到：

$$\frac{\partial^{2}N_{i}}{\partial x^{2}}= (\frac{\partial^{2}N_{i}}{\partial\xi^{2}}-\frac{\partial N_{i}}{\partial x}\cdot\frac{\partial^{2}x}{\partial\xi^{2}})/(\frac{\partial x}{\partial\xi})^{2}$$

这个就是我们需要的针对高阶算符的二阶偏导了，对二维单元可以用同样的思路，通过链式法则来得到二维的二阶偏导，这里就不再给出了。

用三点lagrange插值多项式大概画一下，代码如下：

def N1(x):
    return (x - x2)*(x - x3)/((x1 - x2)*(x1 - x3))

def dN1(x):
    return (x - x2)/((x1 - x2)*(x1 - x3)) + (x - x3)/((x1 - x2)*(x1 - x3))
def d2N1(x):
    return 2/((x1 - x2)*(x1 - x3))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x1=-1.0;x2=0.0;x3=1.0
x=np.linspace(x1,x3,50)
n1=N1(x)
dn1=dN1(x)
d2n1=d2N1(x)*np.ones(50)

plt.figure(1)
plt.subplot(131)
plt.title('$N_{1}$',fontsize=18)
plt.plot(x,n1)
plt.subplot(132)
plt.title(r'$\frac{\partial N_{1}}{\partial x}$',fontsize=18)
plt.plot(x,dn1)
plt.subplot(133)
plt.title(r'$\frac{\partial^{2}N_{1}}{\partial x^{2}}$',fontsize=18)
plt.plot(x,d2n1)
#plt.xticks(fontsize=12)
#plt.yticks(fontsize=12)
plt.savefig('shp2dnd.png',dpi=800,bbox_inches='tight')

结果如下：

常规的二阶单元在一次偏导之后基本就退化成线性函数了,要计算二阶偏导必须要求单元形函数满足$C^1$ 连续。