有限元笔记3-一维单元形函数

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一维形函数核心的数学知识就是Lagrange插值.在有限元计算中，我们常常提到的一阶单元，二阶单元就来源于形函数。

比如一维线性单元，因为是线性单元，所以每个单元只需要两个节点就可以了,两个点对应的Lagrange插值多项式,就可以写为如下形式：

$$l_{1}=\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}},l_{2}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$
将其写为自然坐标 $\xi$的形式就可以得到我们的有限元一维一阶形函数:
$$N_{1}=\frac{1-\xi}{2},N_{2}=\frac{1+\xi}{2}$$
可以验证：
$$\xi=-1: N_{1}=1.0,N_{2}=0.0\\\xi=+1: N_{1}=0.0,N_{2}=1.0$$
同理，二阶的形函数(每个单元需要3个节点)可以写为：
$$N_{1}=\frac{\xi(\xi-1)}{2},N_{2}=(1+\xi)(1-\xi),N_{3}=\frac{\xi(\xi+1)}{2}$$
可以验证：
$$\xi=-1.0: N_{1}=1.0,N_{2}=0.0,N_{3}=0.0\\ \xi=+0.0:N_{1}=0.0,N_{2}=1.0,N_{3}=0.0\\ \xi=+1.0:N_{1}=0.0,N_{2}=0.0,N_{3}=1.0$$
可以画一下二次形函数的取值，代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xi=np.linspace(-1.0,1.0,100)
y0=xi*0.0

N1=xi*(xi-1)/2.0
N2=(1+xi)*(1-xi)
N3=xi*(xi+1)/2.0

plt.plot(xi,N1)
plt.plot(xi,N2)
plt.plot(xi,N3)
plt.plot(xi,y0,'k--')
plt.ylabel('$N_{i}$',fontsize=20)
plt.xlabel('$xi$',fontsize=20)
plt.title('$N_{i}(p=2)$',fontsize=21)
plt.savefig('shp1d.png',dpi=400)

结果跟我们预计的一样:

一般，我们常用的是一阶，二阶的形函数，更高阶的形函数可以根据Lagrange插值多项式来构造。而写成自然坐标是为了以后方便用高斯积分进行积分运算。

在进行数值模拟的过程中，往往会涉及到梯度项还有拉普拉斯项等高阶导数的运算，所以除了形函数本身之外，我们还需要考虑下$\frac{\partial N}{\partial x}$的计算。
方法很简单，利用链式法则就可以了。

比如我们知道某个单元上所有节点的位移$u_{i}$，那么，单元内部某一个点的位移就可以表示为:

$$u(\xi)=\sum_{i=1}^{p+1}N_{i}(\xi)u_{i}$$
那么位移的梯度(1D)就可以这么求:
$$\nabla u(\xi)=\nabla\sum_{i=1}^{p+1}N_{i}(\xi)u_{i}=\sum_{i=1}^{p+1}\nabla N_{i}(\xi)u_{i}=\sum_{i=1}^{p+1}\frac{\partial N_{i}}{\partial x}(\xi)u_{i}$$
为了得到位移的梯度,我们只需要计算 $\frac{\partial N_{i}}{\partial x}$就可以了,因为每个点的 $u_{i}$是已知量,是一个常数或者待求解的常数,不能对常数进行求导.
所以就可以很容易地得到：
$$\frac{\partial N_{i}}{\partial x}=\frac{\partial N_{i}}{\partial\xi}\cdot\frac{\partial\xi}{\partial x}$$
$\frac{\partial N_{i}}{\partial\xi}$我们可以从 $N_{i}(\xi)$的表达式里得到，唯一需要计算的就是 $\frac{\partial\xi}{\partial x}=1/(\frac{\partial x}{\partial\xi})$
而
$$x(\xi)=\sum_{i=1}^{p+1}N_{i}(\xi)x_{i}$$
所以
$$\frac{\partial x}{\partial\xi}=\sum_{i=1}^{p+1}\frac{\partial N_{i}(\xi)}{\partial\xi}x_{i}$$

在AsFem中，我将$|\frac{\partial x}{\partial\xi}|$定义为DetJac或者xsj,保证在一维情况下永远为正，原因后面会说。
最后，我们可以得到形函数对$x$的偏导为：
$\frac{\partial N_{i}}{\partial x}=\frac{\frac{\partial N_{i}}{\partial\xi}}{|\frac{\partial x}{\partial\xi}|}$
更高阶的偏导，比如拉普拉斯算符，可以利用同样的方法得到，这里不再重复。

在AsFem中对应的实现代码如下：

void Shp1D(const int &nDims,const double &xi,const MatrixXd &Coords,MatrixXd &shp, double &DetJac)
{
    int nNodes;
    double dxdxi, dydxi, dzdxi;
    int i, j;

    nNodes = int(Coords.rows());

    if (nDims<1||nDims>3)
    {
        cout << "Wrong dimension case !!!" << endl;
        abort();
    }

    if (nNodes<2 || nNodes>7)
    {
        cout << "Wrong number of nodes per element!!!" << endl;
        cout<<"AsFem only support 1~6 order 1D element!!!"<<endl;
        abort();
    }

    shp.setZero();
    if (nNodes == 2)
    {
        // Linear element
        shp(0, 0) = 0.5*(1.0 - xi);
        shp(0, 1) =-0.5;
        shp(1, 0) = 0.5*(xi + 1.0);
        shp(1, 1) = 0.5;
    }
    else if (nNodes == 3)
    {
        // Quadratic line element(3 nodes)
        shp(0, 0) = 0.5*xi*(xi - 1.0);
        shp(0, 1) = 0.5*(2.0*xi - 1.0);

        shp(1, 0) = -(xi + 1.0)*(xi - 1.0);
        shp(1, 1) = -2.0*xi;

        shp(2, 0) = 0.5*xi*(xi + 1.0);
        shp(2, 1) = 0.5*(2.0*xi + 1.0);
    }



    // Compute the derivatives over x
    // dN/dx
    // actually, there should be positive and negative
    // but I want user to decide the direction of norm
    // so the DetJac is always positive here
    if (nDims == 1)
    {
        dxdxi = 0.0;
        for (i = 0; i < nNodes; i++)
        {
            dxdxi += Coords(i, 0)*shp(i, 1);
        }
        DetJac = fabs(dxdxi);
    }
    else if (nDims == 2)
    {
        // go to asfem
    }
    else if (nDims == 3)
    {
        // go to asfem
    }

    if (DetJac == 0.0)
    {
        cout << "Singular in element!!!" << endl;
        abort();
    }

    for (i = 0; i < nNodes; i++)
    {
        shp(i,1)=shp(i,1)/DetJac;
    }
}

AsFem–as fem as possible!