DP训练：最长对称子串（回文串，区间dp）

L2-008 最长对称子串 （25 分）
对给定的字符串，本题要求你输出最长对称子串的长度。例如，给定Is PAT&TAP symmetric?，最长对称子串为s PAT&TAP s，于是你应该输出11。

输入格式：
输入在一行中给出长度不超过1000的非空字符串。

输出格式：
在一行中输出最长对称子串的长度。

输入样例：
Is PAT&TAP symmetric?

输出样例：
11

【思路】
这道题我一开始就是用递归思路在想，然后再用动规优化实现。根据区间dp的思想，设f(i, j)表示字符串区间i—j中的最长对称子串的长度 。这样设那么递归关系实际上就出来了。设字符串长度为length， 那么我最后要求的是f(0, length - 1)的值
如果a[i] != a[j]那么，f(i, j) = max（f(i + 1, j), f(i, j - 1)）， 缩小区间
若两者相等，那就多一种情况， 那么f(i, j) = max(f(i + 1, j), f(i, j - 1))， 若内部是回文串， 如：abcba，就还要加一个判断。if(是回文串)---- then—f(i, j) = max( f(i, j) , f(i + 1, j - 1) + 2 );

AC 代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int length = 0;
const int maxn = 1005;
char a[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int max(int x, int y)
{
	return x > y ? x : y;
}

int DP()
{
	//主对角线
	for(int i = 0;i < length;i++)
	{
		dp[i][i] = 1;
	} 
	//else
	for(int len = 1;len < length;len++)
	{
		for(int i = 0;i <= length;i++)
		{
			int j = i + len;
			if(j >= length)		continue;
			if(a[i] == a[j])
			{
				dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
				bool flag = true;
				for(int s = i, e = j;s <= e;s++, e--)
				{
					if(a[s] != a[e])
					{
						flag = false;
						break;
					}
				}
				//判断内部是不是回文串 
				if(flag)
				{
					dp[i][j] = max(dp[i + 1][j - 1] + 2, dp[i][j]);
				}
			}
			else
			{
				dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
			}
		}
	}
	//print dp
	/*for(int i = 0;i < length;i++)
	{
		for(int j = 0;j < length;j++)
		{
			cout << dp[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}*/
	return dp[0][length - 1];
}

int main()
{
	cin.getline(a, maxn);				//用这种方式代替gets函数 
	for(int i = 0;a[i] != '\0';i++)		//求出字符串的长度 
	{
		length++;
	}
	printf("%d\n", DP());
	return 0;
}

递归思维找递推式和子问题，然后用区间dp实现。所以递归和动规的关系是非常紧密的！