[HAOI2015]按位或 min-max容斥+FWT

版权声明：本文是蒟蒻写的，转载。。。随便吧 https://blog.csdn.net/xgc_woker/article/details/85953329

Description
刚开始你有一个数字 $0$，每一秒钟你会随机选择一个 $[0,2^n-1]$的数字，与你手上的数字进行或操作。选择数字i的概率是 $p[i]$。保证 $0<=p[i]<=1$， $\sum p[i]=1$问期望多少秒后，你手上的数字变成 $2^n-1$。

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Sample Input
2
0.25 0.25 0.25 0.25

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Sample Output
2.6666666667

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关于 $min-max$容斥的一点东西：
$min-max$容斥的模型：给出n个数出现的概率，求所有数出现一次的期望次数。
设一个元素的大小为这个元素出现的时间。
设 $min(S)$为集合中最小的元素。
$max(S)$为集合中最大的元素。
设 $P$为概率， $E$为期望次数。
可知 $P(min(S))=\sum_{i \in S}Pi$，
$E(min(S))=\frac 1{P(min(S))}$。
对于模型，我们需要求解的实际上是 $E(max(S))$。
那么就有一个式子：
$E(max(S))=\sum_{T \subset S}E(min(T))*(-1)^{|T|+1}$

回到这道题，考虑求出 $E(min(S))$。
那么只要与 $S$有交集其实对 $S$就是有贡献的。
那么这个东西实际上不是很好求。
把他反过来就相当于求补集的子集，这个可以FWT解决。

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#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

#define eps 1e-8
using namespace std;
typedef long long LL;
int _max(int x, int y) {return x > y ? x : y;}
int _min(int x, int y) {return x < y ? x : y;}
int read() {
	int s = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	return s * f;
}

int n, cnt[1 << 20];
double ans, P[1 << 20];

int main() {
	int n = read(); int N = 1 << n;
	for(int i = 0; i < N; i++) scanf("%lf", &P[i]), cnt[i] = cnt[i >> 1] + (i & 1);
	for(int i = 1; i < N; i <<= 1) {
		for(int j = 0; j < N; j += i << 1) {
			for(int k = 0; k < i; k++) {
				P[j + k + i] += P[j + k];
			}
		}
	} ans = 0;
	for(int i = 0; i < N; i++) if(1.0 - P[i ^ (N - 1)] > eps) 
	ans += (cnt[i] & 1 ? 1 : -1) / (1.0 - P[i ^ (N - 1)]);
	if(ans < eps) puts("INF"); else printf("%.8lf\n", ans);
	return 0;
}