洛谷 P3175 [HAOI2015]按位或 fwt

题目描述

刚开始你有一个数字0，每一秒钟你会随机选择一个[0,2^n-1]的数字，与你手上的数字进行或（c++,c的|,pascal的or）操作。选择数字i的概率是p[i]。保证0<=p[i]<=1，Σp[i]=1。问期望多少秒后，你手上的数字变成2^n-1。

输入输出格式

输入格式：
第一行输入n表示n个元素，第二行输入2^n个数，第i个数表示选到i-1的概率

输出格式：
仅输出一个数表示答案，绝对误差或相对误差不超过1e-6即可算通过。如果无解则要输出INF

输入输出样例

输入样例#1：
2
0.25 0.25 0.25 0.25
输出样例#1：
2.6666666667
说明

对于100%的数据，n<=20

分析：
设$p_1(i),i\in[0,2^n)$为一次走到$i$的概率，那么，小于等于两次走到$i$的概率就是，

$$p_2(i)=\sum_{j|k=i}p_1(j)*p_1(k)$$
多次的也可以推出。
在第 $k$次走到 $i$的概率为 $p_k(i)-p_{k-1}(i)$，所以到 $i$的期望 $f(i)$为
$$f(i)=\sum_{k=1}^{inf}k*(p_k(i)-p_{k-1}(i))$$
$f(2^n-1)$就是答案。

有一个叫做莫比乌斯变换的东西，大概就是设$\hat{f}(i)=\sum_{j\subset{i}}f(j)$。
然后就是一堆乱七八糟的东西。
我们回忆对或运算的$Fwt$和$Dwt$。

$$Fwt(A)=(Fwt(A_0),Fwt(A_0+A_1))$$
$$Dwt(A)=(Dwt(A_0),Dwt(A_1-A_0))$$
观察 $Fwt$，当 $i$从后面起第 $j$位为 $1$时，就加上了除了这位为 $0$，其他位全与 $i$相同的数。而这些数又加上他们的自己不同的数。也就是说， $Fwt$后 $A$数组的第 $i$位，就是他的子集的和，也就是 $\hat{f}(i)$。这两个是同一个东西。
那么那些什么莫比乌斯变换与反演，完全可以看作是 $Fwt$操作和 $Dwt$操作。

那么我们再来计算答案，先把$p_1(i)$做$Fwt$操作得到$\hat{p}_1(i)$。这两个式子其实是一个东西，就好像点值多项式和系数多项式的区别，所以，

$$\hat{f}(i)=\sum_{k=1}^{inf}k*(\hat{p}_k(i)-\hat{p}_{k-1}(i))$$
$$=(\hat{p}_1(i)-\hat{p}_0(i))+2*(\hat{p}_2(i)-\hat{p}_1(i))+.......$$
化简一下得到，
$$=inf*\hat{p}_{inf}(i)-...-\hat{p}_{1}(i)-\hat{p}_{0}(i)$$
其中，除了第一项的系数是 $inf$，其他全是 $1$。
因为 $\hat{p}_1(i)\in[0,1]$，且因为 $p_0(0)=1,p_0(x)=0,(x>0)$，所以 $\hat{p}_0(i)=1(x>=0)$。

因此，当$\hat{p}_1(i)=1$时，那么$\hat{p}_k(i)=1$，第一项为$inf$，后面项为$-inf$，即$\hat{f}(i)=0$。
当$\hat{p}_1(i)\in[0,1)$时，

$$\hat{f}(i)=inf*\hat{p}_{inf}(i)-(+...+\hat{p}_{1}(i)+\hat{p}_{0}(i))$$
$$=inf*\hat{p}_{inf}(i)-\frac{\hat{p}_{inf}(i)-\hat{p}_{0}(i)}{\hat{p}_{1}(i)-1}$$
因为 $\hat{p}_1(i)\in[0,1)$，所以 $\hat{p}_{inf}(i)=0$，
所以 $\hat{f}(i)=\frac{1}{\hat{p}_{1}(i)-1}$。

综上，我们先给$p$跑一次$Fwt$，然后求出$\hat{f}$，然后给$\hat{f}$跑$Dwt$，就可以求出$f$了。设$k=2^n$，复杂度是$O(k*logk)$，和$O(n*2^n)$是一样的。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

const int maxn=1048580;
const double limit=1e-12;

using namespace std;

int n;
double p[maxn];

void fwt(double *a,int l,int r)
{
    if (l==r) return;
    int n=(r-l+1)/2,mid=l+n;
    fwt(a,l,mid-1);
    fwt(a,mid,r);
    for (int i=l;i<mid;i++)
    {
        double u=a[i],v=a[i+n];
        a[i+n]=u+v;
    }
}

void dwt(double *a,int l,int r)
{
    if (l==r) return;
    int n=(r-l+1)/2,mid=l+n;
    dwt(a,l,mid-1);
    dwt(a,mid,r);
    for (int i=l;i<mid;i++)
    {
        double u=a[i],v=a[i+n];
        a[i+n]=v-u;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    n=1<<n;
    for (int i=0;i<n;i++) scanf("%lf",&p[i]);
    fwt(p,0,n-1);   
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        if (abs(p[i]-1)<limit) p[i]=0;
                        else p[i]=1/(p[i]-1);
    }
    dwt(p,0,n-1);
    if (abs(p[n-1])<limit) printf("INF");
                      else printf("%.8lf",p[n-1]);
}