Min-Max容斥学习笔记

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形式：

$$maxS=\sum_{T\in{S}}(-1)^{|T|+1}minT$$

意思是：集合$S$中的最大值，等于它所有子集的最小值乘上子集的大小加一的和。
多应用在概率，期望等题目上，有时候也用来求一些很难求的最大值。

证明：

不妨将集合从小到大排序。那么：$\forall i < j$ $a_i <= a_j$。
考虑一个数被枚举的次数，就可以将容斥结果写成：

$$\sum_{i=1}^n a_i\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^{j}C_{n-i}^j$$ $$=\sum_{i=1}^na_i[n-i=0]$$ $$=a_n=maxS$$
证毕。