【BZOJ4036】【HAOI2015】按位或（期望，FWT）

Description

刚开始你有一个数字 $0$ ，每一秒钟你会随机选择一个 $[0,2^n-1]$ 的数字，与你手上的数字进行或（c++,c的|,pascal的or）操作。选择数字 $i$ 的概率是 $p[i]$ 。保证 $0\le p[i]\le 1，\sum p[i]=1$ 。问期望多少秒后，你手上的数字变成 $2^n-1$ 。

Solution

神仙题哇！

orzYMY

我们设 $f(S)$ 表示变成状态 $S$ 的期望时间， $p^k(S)$ 表示经过最多 $k$ 秒变成状态 $S$ 的概率。
那么有： $f(S)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k \times (p^k(S)-p^{k-1}(S))$

其实 $p^k(S)$ 是将 $p(S)$ 卷 $k$ 次后的值，我们设 $p(S)$ FWT后为 $P(S)$ ， $f(S)$ FWT后为 $F(S)$ 。
那么有：

\begin{aligned} F (S) & = \sum_{k = 1}^{+ \infty} k \times (P^{k} (S) - P^{k - 1} (S)) \\ = - \sum_{k = 1}^{+ \infty} k \times P^{k} (S) \\ = - \frac{1}{1 - P (S)} \end{aligned}

$\begin{align*} F(S)&=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k \times (P^k(S)-P^{k-1}(S)) \\ &=-\sum_{k=1}^{+\infty}k\times P^k(S) \\ &=-\frac{1}{1-P(S)} \end{align*}$
（注意特判：如果

P (S) = 1

$P(S)=1$ ，

F (S) = 0

$F(S)=0$ ）

得到了 $F(S)$ 后，我们再IFWT回去即可。

Code

/************************************************
 * Au: Hany01
 * Date: Jul 6th, 2018
 * Prob: [BZOJ4036][HAOI2015] 按位或
 * Email: [email protected]
 * Inst: Yali High School
************************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define x first
#define y second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define ALL(a) (a).begin(), (a).end()
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define y1 wozenmezhemecaia

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read()
{
    register int _, __; register char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

const double eps = 1e-9;
const int maxn = 1 << 20;

int n, N;
double p[maxn];

inline int dcmp(double x) { if (fabs(x) < eps) return 0; return x > 0 ? 1 : -1; }

inline void FWT(double *a, int ty) {
    for (register int i = 2, p = 1; i <= N; p = i, i <<= 1)
        for (register int j = 0; j < N; j += i)
            rep(k, p) a[j + k + p] += a[j + k] * ty;
}

int main()
{
#ifdef hany01
    File("bzoj4036");
#endif

    n = read(), N = 1 << n;
    rep(i, N) scanf("%lf", &p[i]);
    FWT(p, 1);
    rep(i, N) p[i] = dcmp(p[i] - 1) ? -1 / (1 - p[i]) : 0;
    FWT(p, -1);
    if (dcmp(p[N - 1])) printf("%.8lf\n", p[N - 1]); else puts("INF");

    return 0;
}
//同是天涯沦落人，相逢何必曾相识！
//    -- 马致远《杂剧·江州司马青衫泪》