[HAOI2015] 按位或 - Min-Max容斥,快速莫比乌斯变换

初态下，分数为 \(0\)。每秒钟，随机选择一个 \([0,2^n-1]\) 的数字与当前的数字做按位或运算。选择数字 \(i\) 的概率是 \(p_i\)，求分数达到 \(2^n-1\) 的期望时间。\(n\leq 20\)

Solution

先介绍一下 Min-Max 容斥原理。设 \(\max(S),\min(S)\) 分别是集合 \(S\) 中的最大值与最小值，则有
\[ \max(S)=\sum_{T\subseteq S} (-1)^{|T|+1} \min(T) \\ \min(S)=\sum_{T\subseteq S} (-1)^{|T|+1} \max(T) \]
Min-Max 容斥原理对随机变量的期望成立。

回到原问题，对于某个位置集合，考虑将每个位变为 \(1\) 的时间扔进一个集合，那么 \(\min(S)\) 是集合中第一个变 \(1\) 元素的时间，\(\max(S)\) 是最后一个。

于是答案就是 \(E(\max(U))\)，其中 \(U\) 为全集。利用 Min-Max 容斥原理我们可以将它转化为求对于每一个子集的 \(E(\min(S))\)，而 \(\min(S)\) 符合几何分布，于是有
\[ \begin{aligned} E(\min(S)) &= \sum_{i=1}^{\infty} iP(\min(S)=i) \\ &= \sum_{i=1}^\infty i(\sum_{TS=\varnothing}p_T)^{i-1}(1-\sum_{TS=\varnothing}p_T) \\ &= \frac{1}{1-\sum_{TS=\varnothing}p_T} \end{aligned} \]
于是现在我们需要对所有 \(S\subseteq U\)，求出 \(\sum_{TS=\varnothing} p_T\)

考虑 FMT，可以用来求出 \(\forall S,\ g(S)=\sum_{T\subseteq S} f(T)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double a[2000005],ans;
int n;

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=0;i<1<<n;i++) cin>>a[i];
    int up=1<<n;
    for(int k=1;k<up;k<<=1)
        for(int s=0;s<up;s+=k<<1)
            for(int i=s;i<s+k;i++)
            {double a0=a[i];double a1=a[i+k];a[i]=a0;a[i+k]=a0+a1;}
    for(int i=1;i<up;i++) {
        if(1-a[(up-1)^i]<1e-10) {
            puts("INF");
            return 0;
        }
        ans += (__builtin_popcount(i)%2?1:-1)*1/(1-a[(up-1)^i]);
    }
    printf("%.8lf",ans);
}