牛客小白月赛12C (线性筛积性函数)

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/392/C
来源：牛客网

题目描述

华华刚刚帮月月完成了作业。为了展示自己的学习水平之高超，华华还给月月出了一道类似的题：
$\mathrm{Ans=\oplus Ni=1(iNmod(109+7))Ans=\oplus i=1N(iNmod(109+7))\; \oplus \oplus 符号表示异或和，详见样例解释。\; 虽然月月写了个程序暴力的算出了答案，但是为了确保自己的答案没有错，希望你写个程序帮她验证一下。}$

输入描述:

输入一个正整数N。

输出描述:

输出答案Ans。

示例1

输入

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3

输出

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18

说明

N=3时，${\mathrm{13=113=1，23=823=8，33=2733=27，异或和为18。}}^{}$

示例2

输入

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2005117

输出

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863466972

备注:

$\mathrm{1\le N\le 1.3\times 1071\le N\le 1.3\times 107}$


解题思路：因为$\mathrm{f(x)=x^n是一个完全积性函数，所以用线筛即可,不过不能开long\; long，会爆内存}$

定义

积性函数：对于 任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的 数论函数。

完全积性函数：对于 任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的 数论函数。

 

常见积性函数

μ(n)：莫比乌斯函数
φ(n)：欧拉函数
d(n)：一个数nn的约数个数
σ(n)：一个数n的约数和
f(x)=x^k(k∈N)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1.3e7+10;
int n,prime[maxn],f[maxn];
ll ans;
int qpow(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=1ll*res*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    int tot=0;
    ans=1;
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!prime[i]){
            prime[tot++]=i;
            f[i]=qpow(i,n);
        }
        for(int j=0;j<tot&&prime[j]*i<=n;j++){
            prime[i*prime[j]]=1;
            f[i*prime[j]]=1ll*f[i]*f[prime[j]]%mod;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
        ans^=f[i];
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}