5.2 微分方程模型
5.2.1常见机电元件
能量分类 |
总方程 |
元件微分方程 |
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储能元件 |
机械: 牛顿定律 |
质量块或 定轴转动物体 |
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弹簧(弹性元件) |
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电气: 节点电流定律;回路电压定律 |
电容 |
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电感 |
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耗能元件 |
机械 |
阻尼器 |
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电气 |
电阻 |
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m-质量;x/x(t)-位移/变形量;f(t)-外作用力;θ-转角;M(t)-外力矩;J-转动惯量;k-弹簧刚度系数;fx(t)-弹簧力;U-电压;R-电阻;C-电容;i(t)-充电电流;L-电感;B-阻尼系数; |
5.2.2微分方程的建立
列写微分方程一般步骤:
- 确定系统的输入量和输出量;
- 根据系统所遵循的基本定律,依次列出各元件的微分方程;
- 消中间变量,得到只含有输入、输出量的标准形式,标准化:右端输入,左端输出,导数降幂排列;
- 在列写元件的微分方程或求出系统的微分方程时,对非线性项应加以线性化。
eg.设有由电感L,电容C和电阻R组成的电路,如图所示。试求出以输出电压U2为输出变量和以输入电压U1为输入变量的微分方程。
(1)确定电路输入量/输出量
U1为输入量,U2为输出量
(2)依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程
(3)消去中间变量i,得到U2与U1的关系方程
5.2.3 非线性数学模型的线性化
线性化:将非线性微分方程,在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程;在控制工程中,系统运行围绕平衡点进行,则在有限的工作范围内,可用线性系统等效原来的非线性系统。用数学方法处理非线性函数y=f(x),在其工作点(x0,y0)处展开成泰勒级数,然后忽略其二次以上的高阶项得到线性化方程。
定义:如果f(x)在点x=x0具有任意阶导数,则幂级数
称为f(x)在点x0处的泰勒级数。