BSGS
\(BSGS\)算法又称大步小步\((Baby-Step-Giant-Step)\)算法
\(BSGS\)算法主要用于解以下同余方程
\[A^x\equiv B(mod\ p)\]其中\((A,P)=1\),即\(A\)与\(P\)互质
前置知识
根据欧拉定理\(A^{ \varphi(p)} \equiv1(mod\ p)\)，所以\(A^x(mod\ p)\)的循环节为\(\varphi(p)\).也就是说如果上面的方程有解\(x\)，那么肯定有\(x \in [0,\varphi(p)]\)，所以我们可以枚举一下\(x\)求解
推导
上面是暴力的做法，而\(BSGS\)就是利用分块的思想将上面的算法复杂度优化为\(\sqrt{\varphi(p)}\)(哈希表做法)或者\(\sqrt{\varphi(p)}\ log\;p\)(map)做法
我们令\(m=\lceil \sqrt{\varphi(p)}\rceil\),那么任何一个\(x\in [0,\varphi(p)]\)都可以被表示成\(im-j(i \in [1,m],j\in [0,m])\)的形式
则原式可表示为\[A^{im-j} \equiv B(mod\ p)\]
\[A^{im}\equiv A^jB(mod\ p)\]
实现
所以先将右边\(A^jB(j \in[0,m])\)预处理出来，存到\(hash\)表中。
然后枚举左边的\(i \in[1,m]\)计算出\(A^{im}\)，并在\(hash\)表中查询。
枚举\(i,j\)的复杂度都是\(\sqrt{\varphi(p)}\)，常数取决于\(hash\)表
有个细节的地方，一般我们都是要求\(x\)最小的，所以我们希望\(j\)更大，\(i\)更小。所以在往\(hash\)表中存的时候，保留更大的那个\(j\)。从小到大枚举\(i\)，遇到可行答案直接输出即可。
例题
代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define int ll
map<int,int>ma;
ll read() {
ll x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
int B,A,L,P;
int qm(int x,int y) {
int ret = 1;
for(;y;y >>= 1,x = 1ll * x * x % P)
if(y & 1) ret = 1ll * x * ret % P;
return ret;
}
signed main() {
P = read(),A = read(),B = read();
ma.clear();
int m = ceil(sqrt(P));
int now = B;
for(int i = 0;i <= m;++i) {
ma[now] = i + 1;
now = 1ll * now * A % P;
}
now = 1;
int ans = -1;
int kk = qm(A,m);
for(int i = 1;i <= m;++i) {
now = 1ll * now * kk % P;
if(ma[now]) {
ans =i * m - ma[now] + 1;
break;
}
}
if(ans == -1) puts("no solution");
else printf("%lld\n",ans);
return 0;
}扩展BSGS
\(BSGS\)算法有一定的局限性\((A,p\)互质\()\)。扩展\(BSGS\)可以处理\(A,p\)不互质的情况。
推导
我们已经会了\(A,p\)互质的情况，对于\(A,p\)不互质的情况，只要将转化为\(A,p\)互质即可。
令\(d=gcd(A,p)\)。
如果\(d\nmid B\)，那么要么\(B=1\),则答案为\(0\)。否则根据裴蜀定理一定无解。所以我们只要在一开始的时候特判一下\(B=1\)的情况。后面只要发现\(d\nmid B\)就可以说明无解。
所以现在我们假设\(d\mid B\)。
我们将\(A,B,P\)同时除以一个\(d\)。即
\[A^{x-1}\frac{A}{d} \equiv \frac{B}{d}(mod\ \frac{p}{d})\]
然后重复此操作，直到\(d = 1\)
得到同余方程
\[A^{x-k}\frac{A^k}{\prod\limits_{i=1}^kd_i} \equiv \frac{B}{\prod\limits_{i=1}^kd_i}(mod\ \frac{p}{\prod\limits_{i=1}^kd_i})\]
设\(p'=\frac{p}{\prod\limits_{i=1}^kd_i},B'=\frac{B}{\prod\limits_{i=1}^kd_i},C=\frac{A^k}{\prod\limits_{i=1}^kd_i},x'=x-k\)
原式就变为\[A^{x'}C\equiv B'(mod\ p')\]
然后就转化为了\(A,p'\)互质的情况，就可以用普通的\(BSGS\)做了。
例题
代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define int ll
map<int,int>ma;
ll read() {
ll x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
int A,B,P;
int gcd(int x,int y) {
return !y ? x : gcd(y,x % y);
}
int qm(int x,int y) {
int ans = 1;
for(;y;y >>= 1,x = 1ll * x * x % P) {
if(y & 1) ans = 1ll * ans * x % P;
}
return ans;
}
signed main() {
// freopen("in.in","r",stdin);
while(1) {
ma.clear();
A = read(),P = read(),B = read();
if(!A and !B and !P) return 0;
if(B == 1) {
puts("0");continue;//特判掉b=1的情况
}
int bz = 0,C = 1,d = gcd(A,P),K = 0;
while(d != 1) {
if(B % d) {
puts("No Solution");
bz = 1;break;
}
P /= d;
B /= d;
++K;
C = 1ll * C * (A / d) % P;
d = gcd(A,P);
if(B == C) {
printf("%d\n",K);
bz = 1;
break;
}
}
if(bz == 1) continue;
int m = ceil(sqrt(P));
int now = B;
for(int i = 0;i <= m;++i) {
ma[now] = i + 1;
now = 1ll * now * A % P;
}
now = C;
int ans = -1;
int kk = qm(A,m);
for(int i = 1;i <= m;++i) {
now = 1ll * now * kk % P;
if(ma[now]) {
ans =i * m - ma[now] + 1 + K;
break;
}
}
if(ans == -1) puts("No Solution");
else printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}