[BSGS]

[模板] 大步小步算法——BSGS算法

这个算法叫做B(拔)S(山)G(盖)S(世)，或B(北)S(上)G(广)S(深)。 就是这么个骚东西。

大步小步算法用于解决：已知A, B, C，求X使得
A^x = B (mod C)
成立。

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先令 x = i*m-j，其中 m=ceil(sqrt(p))，ceil是向上取整。

这样原式就变为    a^i*m-j = b (mod p)，

移项就变成了      a^i*m = b*a^j (mod p)

枚举j (范围0-m) ,将 b*a^j  存入hash表。

枚举i (范围1-m) ,从hash表中寻找第一个满足a^i*m = b*a^j  (mod p)。

此时   x = i*m-j  就是所要求的。

---

那么为什么只计算到 m=ceil(sqrt(q))  就可以确定答案呢？

因为 x = i*m-j , 所以x 的最大值不会超过p

由费马小定理知: 当p为质数且 (a,p) = 1 时 a^p-1 ≡ 1 (mod p)

所以 当 x = p-1 时 a^p-1 ≡ 1 会重新开始循环 所以 x 最大不会超过 p-1

所以：如果枚举 x 的话枚举到 p 即可。

所以使 im−j<=p , 即 m=⌈√p⌉ , i,j 最大值也为m。

还有 我不保证 我写的 不会 出错（逃

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cmath>
 4 #include <map>
 5 #include <algorithm>
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 map<long long,long long> kkk;
10 
11 int a,b,p,res;
12 
13 bool flag;
14 
15 long long GCD(long long a,long long b)
16 {
17     return !b ? a : GCD(b,a % b); 
18 } 
19 
20 long long quickpower(long long a,long long b,long long p)
21 {
22     long long ans = 1;
23     
24     while(b)
25     {
26         if(b & 1) ans = ans * a % p;
27         
28         a *= a;
29         b >>= 1; 
30     }
31     
32     return ans % p;
33 }
34 
35 int main()
36 {
37     while(scanf("%d%d%d",&a,&p,&b) && a != 0 && b != 0 && p != 0)
38     {
39         flag = 0;// 判断的 
40         
41         if(a == b)// 特判 
42         {
43             printf("1\n");
44             
45             flag = 1;
46         }
47         
48         kkk.clear();//清空 
49         
50         if(GCD(a,p) != 1)// 不互质 
51         {
52             printf("No Solution\n");
53             
54             continue;
55         }
56         
57         int sq = ceil(sqrt(p));// 分块 
58         
59         int now = b % p;// j == 0;
60         
61         kkk[now] = 0;
62         
63         for(int j=1;j<=sq;j++)
64         {
65             now = now * a % p;
66             
67             kkk[now] = j;
68         }
69         
70         now = 1;
71         
72         int power = quickpower(a,sq,p);//求 a^sq 
73         
74         for(int i=1;i<=sq;i++)
75         {
76             now = now * power % p;// 枚举 a^(i*sq) 
77             
78             if(kkk[now] && !flag)// flag 防止 多输出 , 如果找到了重复的 说明已经找到了 
79             {
80                 res = i * sq - kkk[now];
81                 
82                 printf("%d\n",(res + p) % p);// 保证不为负数 
83                 
84                 flag = 1;
85                 
86             }
87         }
88         
89         if(!flag)
90             printf("No Solution\n");
91     }
92     
93     return 0;
94 }