正题

BSGS，Baby Step Giant Step 。

是用来解决类似于 $a^x\equiv b\ (\mod\ p)$ ，一类问题的。

如果 $(a,p)=1$ ，那么对于 $x>p-1$ ，根据费马小定理 $a^{p-1}\equiv 1\ (\mod \ p)$ ，我们可以令 $x$ 对p-1取mod，对答案没有影响，并且保证了答案在 $0\to p-2$ 这个范围之内。

我们可以令 $x=i*m-j$ ，得到 $a^{i*m-j}\equiv b\ (\mod \ p)$ ， $m=\sqrt p,i<=m,j<=m$

转移一下，得到 $a^{i*m}\equiv b*a^j\ (\mod \ p)$

我们把右式式处理出来放进一个std::map里面，然后让左式去找，找到的第一个就是答案。

void BSGS(){
	m=ceil(sqrt(double(p)));
	f[b]=0LL;
	for(int j=1;j<=m;j++){
		(b*=a)%=p;
		f[p]=j;
	}
	long long data=ksm(a,m),A=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		(A*=data)%=p;
		if(f[A]){
			printf("%lld",i*m-f[A]);
			return ;
		}
	}
	printf("No solution");
}

如果 $(a,p)\neq 1$ 呢？

这时候又要请出我们大名鼎鼎的扩展欧几里得解决问题了。

我们先看一个式子：如果 $d\mid (a,p),a\equiv b(\mod \ p)$ ，那么 $\frac{a}{d} \ \equiv \frac{b}{d} (\mod \ \frac{p}{d})$

这个很显然，一移项就可以知道了。

$a^{x-k}\ * \frac{a^k}{\prod d} \equiv \frac{b}{\prod d}(\mod \frac{p}{\prod d} )$ ，这时，经过不断得除以d，使得新的模数和a互质即可。

然后，如果 $\frac{a^k}{\prod d}= \frac{b}{\prod d}$ ，只有一个解那就是x=k

如果b不整除，那么没有解。

最后，也是把 $\frac{a^k}{\prod d}$ 看成一个常数，做一遍普通的BSGS

void exBSGS(){
	a=(a%p+p)%p;
	b=(b%p+p)%p;
	long long d,prod,k=0;
	while((d=gcd(a,p)!=1)){
		if(b%d==1) {printf("No solution");return ;}
		b/=d;p/=d;prod=prod*a/d%p;k++;
		if(b==k) {printf("%lld",k);return ;}
	}
	m=ceil(sqrt(double(p)));
	f[b]=0LL;
	for(int j=1;j<=m;j++){
		(b*=a)%=p;
		f[p]=j;
	}
	long long data=ksm(a,m),A=prod;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		(A*=data)%=p;
		if(f[A]){
			printf("%lld",i*m-f[A]+k);
			return ;
		}
	}
	printf("No solution");
}

学习笔记第十九节：BSGS&扩展BSGS

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