扩展BSGS 学习笔记

首先你在学扩展BSGS前需要先了解BSGS。如果你还不了解BSGS或者对BSGS有什么疑问，可以看看我的BSGS讲解，我觉得基本是全网最详细的了。
我们知道，BSGS可以解决求$a^x=b(mod\ p)$的最小非负整数$x$，它的应用条件是要求底数$a$与模数$p$互质的，那么如果不互质应该怎么办呢？这时候就要用到扩展BSGS了。
扩展BSGS是在BSGS的基础上进行一些改进。既然互质的我们会做了，我们就考虑把不互质的转化为互质的。
我们设$d=gcd(a,p)$，如果$d$不能整除$b$，那么只有$b=1$时有解，即$x=0$，否则就无解。
首先先说明一个定理：

$$a=b(mod\ p)$$ 那么 $$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(mod\ \frac{p}{c})$$
好，接下来开始我们的推导。
如果 $d|b$且 $d\ne 1$，那么 $$a^x=b(mod\ p)$$ $$a^{x-1}*a=b(mod\ p)$$ $$a^{x-1}*\frac{a}{d}=\frac{b}{d}(mod\ \frac{p}{d})$$ 如果此时的 $a$与 $\frac{p}{d}$仍然不互质，那么我们就继续分解，直到 $a$与 $\frac{p}{\prod_{i=1}^k d_i}$互质。
此时 $$a^{x-k}*\frac{a^k}{\prod_{i=1}^{k} d_i}=\frac{b}{\prod_{i=1}^{k}d_i}(mod\ \frac{p}{\prod_{i=1}^{k}d_i})$$
对于已经求导的任何一个 $k$，如果 $\prod_{i}^{k}d_i$不能整除 $b$，那么唯一可能的解就是 $x=0$，所以如果我们在开头先特判了 $x=0$的情况，在这里只要遇到不能整除的情况就是无解。
对于 $(\prod_{i=1}^{k}d_i)|b$，我们首先枚举 $x\in[1,k]$是否是解（ $x=0$已经提前特判了），如果是解就输出先在枚举到的 $x$，这个 $x$是 $log_2b$级别的。
否则的话，一种做法是本来BSGS的 $ans$一开始是设为 $1$的，我们这里把一开始的 $ans$的初值设为 $\frac{a^k}{\prod_{i=1}^{k} d_i}$，然后BSGS。另一种做法是我自己yy的，我们对于 $$a^{x-k}*\frac{a^k}{\prod_{i=1}^{k} d_i}=\frac{b}{\prod_{i=1}^{k}d_i}(mod\ \frac{p}{\prod_{i=1}^{k}d_i})$$ 可以求出 $\frac{a^k}{\prod_{i=1}^{k} d_i}$的逆元乘到右边去，然后BSGS。
经洛谷数据测试两种写法速度差不多。
最后我附一下两种的代码。
第一种：

//洛谷4195 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long a,b,p,x;
map<long long,long long> mp;
inline long long gcd(long long x,long long y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
inline long long ksm(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        res=(res*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
inline void exBSGS(long long a,long long b,long long p)
{
    if(b==1)
    {
        printf("0\n");
        return;
    }
    long long d=gcd(a,p),t=1,k=0;
    while(d!=1)
    {
        if(b%d)
        {
            printf("No Solution\n");
            return;
        }
        ++k;
        b/=d;
        p/=d;
        t=(t*(a/d))%p;//[1,k]的处理 
        d=gcd(a,p);
        if(b==t)
        {
            printf("%lld\n",k);
            return;
        }
    }
    mp.clear();
    long long m=ceil(sqrt(p)),ans;
    for(int j=0;j<=m;++j)
    {
        if(j==0)
        {
            ans=b%p;
            mp[ans]=j;
            continue;
        }
        ans=(ans*a)%p;
        mp[ans]=j;
    }
    long long x=ksm(a,m,p),pd=0;
    ans=t;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        ans=(ans*x)%p;
        if(mp[ans])
        {
            x=i*m-mp[ans];
            printf("%lld\n",x+k);
            pd=1;
            break;
        }
    }
    if(!pd)
    printf("No Solution\n");
    return;
}
int main()
{
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&p,&b))
    {
        if(a==0&&b==0&&p==0)
        break;
        a=a%p;
        b=b%p;
        exBSGS(a,b,p);
    }
    return 0;
}

第二种：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long a,b,p,x;
map<long long,long long> mp;
inline long long gcd(long long x,long long y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
inline long long ksm(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        res=(res*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
}
inline void exBSGS(long long a,long long b,long long p)
{
    if(b==1)
    {
        printf("0\n");
        return;
    }
    long long d=gcd(a,p),t=1,k=0;
    while(d!=1)
    {
        if(b%d)
        {
            printf("No Solution\n");
            return;
        }
        ++k;
        b/=d;
        p/=d;
        t=(t*(a/d))%p;//[1,k]的处理 
        d=gcd(a,p);
        if(b==t)
        {
            printf("%lld\n",k);
            return;
        }
    }
    mp.clear();
    long long m=ceil(sqrt(p)),ans,x,y;
    exgcd(t,p,x,y);
    x=(x%p+p)%p;
    if(!x)
    x+=p;
    b=b*x;
    for(int j=0;j<=m;++j)
    {
        if(j==0)
        {
            ans=b%p;
            mp[ans]=j;
            continue;
        }
        ans=(ans*a)%p;
        mp[ans]=j;
    }
    long long pd=0;
    ans=1;
    x=ksm(a,m,p);  
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        ans=(ans*x)%p;
        if(mp[ans])
        {
            x=i*m-mp[ans];
            printf("%lld\n",x+k);
            pd=1;
            break;
        }
    }
    if(!pd)
    printf("No Solution\n");
    return;
}
int main()
{
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&p,&b))
    {
        if(a==0&&b==0&&p==0)
        break;
        a=a%p;
        b=b%p;
        exBSGS(a,b,p);
    }
    return 0;
}

PS:由于我自带大常数，所以在洛谷上不开O2几乎要T了