数学——泊松分布、指数分布

 1、泊松分布

独立随机事件X，在某段时间内发生次数的期望lambda已知，求发生次数为k的概率

例如：某医院平均每天出生10个婴儿，我们现在想知道明天出生多少婴儿（明天出生k个婴儿的概率）

 

2、指数分布

独立随机事件X，在某段时间内发生次数的期望lambda已知，事件下一次发生的时间间隔为x的概率

例如：某医院平均每天出生10个婴儿，我们现在想知道下一个婴儿什么时候出生（x小时后有婴儿出生的概率）

 

3、泊松分布与指数分布的关系

泊松分布：在某段时间内事件发生的概率

指数分布：事件发生时间间隔为t的概率

事件发生的时间间隔大于t，就相当于从现在开始t小时内，该事件不会发生 

4、exp(x)的Taylor展开

5、泊松分布中，P随k、lambda变化的关系

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def fac(x):
    if x == 0:
        return 1
    if x == 1:
        return 1
    return x*fac(x-1)

#固定k，变化lambda
plt.figure()
x = np.arange(0,10,0.05)
for i in range(5):
    y = [math.exp(-a)*a**i/fac(i) for a in x]
    plt.plot(x,y,linewidth=2,label='k='+ str(i))
plt.grid(True)
plt.legend(loc='upper right')
plt.xlabel('lambda')
plt.ylabel('P')

#固定lambda，变化k
plt.figure()
x = np.arange(0,10,1)
for i in range(1,6):
    y = [i**a/fac(a)*math.exp(-i) for a in x]
    plt.plot(x,y,linewidth=2,label='lambda='+ str(i))
plt.grid(True)
plt.legend(loc='upper right')
plt.xlabel('k')
plt.ylabel('P')

参考：

http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html

https://www.zhihu.com/question/26441147

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_16_07_1/index.html