Codeforces 1114C(数论)

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分析

我们先考虑n!在10进制下有多少个0

由于10=2*5,

我们考虑n!的分解式中5的指数，答案显然等于\(\frac{n}{5}+\frac{n}{5^2}+\frac{n}{5^3}+\dots\frac{n}{5^k}(\frac{n}{5^k}\geq 1,\frac{n}{5^{k+1}}<1)\)

可以用一个递归函数来计算：

ll f(ll x,ll y){
    if(x<y) return 0;
    else return x/y+f(x/y,y);
}

由于5的个数显然比2少，0的个数取决于5的个数

对于b进制下的0的个数

我们先把b质因数分解\(b=\prod p^{k_{i}}_{i}\)

对于每个质因数\(p_i\),我们按照递归函数求出n!中\(p_i\)的指数，然后再除以\(k_i\)

由于有指数影响，最大的质因数不一定出现的个数最小，不能像10进制那样直接计算

所以我们把每个质因数的结果取min即可

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define maxn 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,base;
ll p[maxn],k[maxn]; 
int cnt=0;
void divide(ll x){
    ll sq=sqrt(x);
    ll ans=0;
    for(ll i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            p[++cnt]=i;
            while(x%i==0){
                x/=i;
                k[cnt]++;
            }
        }
    }
    if(x>1){
        p[++cnt]=x;
        k[cnt]=1;
    }
} 
ll f(ll x,ll y){
    if(x<y) return 0;
    else return x/y+f(x/y,y);
}
ll count(ll n,ll x){
    divide(x);
    ll ans=0x7fffffffffffffff;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        ans=min(ans,f(n,p[i])/k[i]);
    }
    return ans;
}
int main(){
    cin>>n>>base;
    cout<<count(n,base);
}