Codeforces 1114C

Codeforces 1114C

• 题目
  1114C

• 题意
  求 $b$进制下的 $n!$末尾有多少 $0$

• 分析
  首先要知道对于十进制下 $n!$有多少个末尾 $0$， $10$能质因数分解为 $10 = 2 * 5$,那么末尾为 $0$就是看 $1{\sim}n$分解后有多少个 $2和5$,又因为 $2$的个数大于 $5$的个数,所以最终的答案看的是 $5$的个数，计算5的贡献答案即为 ${\frac{n}{5}}+{\frac{n}{5^2}}+{\frac{n}{5^2}}{\dots}{\frac{n}{5^k}}$.
  通过以下函数计算

  void f(int x,int y)
  {
    if(x < y) return 0;
    else return x/y+(x/y,y);
  }
  

  现在考虑 $b$进制下的情况

  • 分解 $b$的质因数 ${\prod_{i=1}^m{p_i^{c_i}}}$
  • 计算答案并除以 $c_i$,再取 $min$
    $As$:为什么答案不直接计算分解出的最大质因数，这样不就求出最少的个数了吗？
    $An$:这里要考虑到 $c_i$的影响。
    $As$:为什么求 $min$的时候要除以 $c_i$
    $An$:因为假设 $b$是 $40$,那么分解质因数是 $2^3*5$，计算时计算了 $2^1,2^2,2^3$的贡献，而实际上答案只要 $2^3$这个数的贡献。因为只有 $2^3和5$才能相乘在 $b$进制下等于 $0$

• 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1600;
ll a,b;
ll c[N],m = 0,p[N];
void fj()
{
	for(int i= 2;i<=sqrt(b);i++)
	{
		if(b % i== 0)
		{
           p[++m] = i,c[m] = 0;
           while(b %i == 0) b/=i,c[m]++;
		}
	}
	if(b > 1)
		p[++m] = b,c[m] = 1;
}
ll cal(ll x,ll y)
{
	if(x < y) return 0;
	else return x/y+cal(x/y,y);
}
void solve()
{
	ll minn=0x7fffffffffffffff;
	fj();
	for(int i= 1;i<=m;i++)
	{
		minn = min(minn,cal(a,p[i])/c[i]);
	}
	cout<<minn<<endl;
}
int main ()
{
    cin>>a>>b;
    solve();
	return 0 ;
}

• 方法
  质因数分解,题目分析
• 总结