我们先看一个经典的题———最长上升子序列（LIC），后面就用LIC说明简写。
描述
一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。输入输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。输出最长上升子序列的长度。
样例输入
7
1 7 3 5 9 4 8
样例输出
4
题意就是让你在一个序列中找出最长（注意是上升）上升子序列，例如：1245中1245就是这个序列的最长上升子序列。
我们先简单分析一下：
首先，每看一个数字时，想确定到这个数字及之前的最长上升子序列时，都需要一一比较，看哪一个比它小。
我们定义一个状态：设d(i)代表选第i个数字时，
这个数字及之前序列最长上升子序列的长度。
例如：17235中d(3)=2（最长上升子序列为12）代表在2及2之前最长上升子序列的长度
那么好，我们在选第i个数字时，只需看在i之前有哪些比第i个数小的数，比较这些小的数，选最优的状态。
有点乱，不是吗？
那么，举个例子：在125这个序列中，在判断d(3)时，看到第一个可以，于是d(3)=d(1)+1=1；
接着，看看第二个d(2)，也可以，于是d(3)=max(d(3),d(2)+1)=2;
于是，d(3)就等于2！
由此可知，确定d(i)的具体做法是，
往前看，比较每一个的值与它的大小：如果比它大，过了；如果比它小，开始比较和这个状态和刚才状态大小，选最大的。
于是，我们就可以得出状态转移方程了：d(i)=max{d(j)}+1
解释一下，j代表前面每一个数，1指的是选第i个数时最长上升子序列数量加一。
这块有些混乱，如有不明白的请留言。
于是我们可以进行实现：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[10000+100],d[10000+100],n;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=n;i>0;i--){
d[i]=1;
for(int j=i+1;j<=n;j++)if(a[i]<a[j])d[i]=max(d[i],d[j]+1);
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,d[i]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
认真的朋友会发现，最后输出的竟然不是d(n)，而是d(1)至d(n)的最大值。
这是因为d(n)代表选第n个数最长上升子序列的长度，而整个序列的最长上升子序列的长度不一定是选用第n个数时的最长上升子序列的长度。
当然，这道题也有递归的实现方法。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[10000]={},d[10000]={};
int dp(int i){
int &ans=d[i];
if(ans>0)return ans;
ans=1;
for(int j=i+1;j<n;j++)if(a[j]>a[i])ans=max(ans,dp(j)+1);
return ans;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)ans=max(dp(i),ans);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
这种用动态规划的算法时间复杂度是O（n^2），O（n方）。
有没有更快速的方法？有！我们下一次再说。