一、算法原理
支持向量机是最大化分类间隔的线性分类器，使用核函数可以解决非线性问题。
1.数学建模
(1)决策面方程
(2)分类间隔方程
(3)约束条件
(4)线性SVM优化问题描述
(5)拉格朗日函数
(6)KKT条件
(7)对偶问题求解
(8)SMO算法
2.松弛向量与软间隔最大化
3.核函数
4.多类分类之SVM
关于SVM的原理，已经有很多优秀的博客，不再重复造轮子了。
https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/78072313
https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17291543
https://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837#t29
二、算法实践
1.实现SVM类，对Iris数据集中的前两种花进行分类。在处理数据集的过程中，将两两种换的类别处理为1和-1的标签。
from math import exp
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
def create_data():
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
data = df.iloc[:100,[0,1,-1]]
data = np.array(data)
for i in range(len(data)):
if data[i,-1] == 0:
data[i,-1] = -1
return data[:,:2],data[:,-1]
class SVM:
def __init__(self, max_iter=100, kernel="linear"):
self.max_iter = max_iter
self._kernel = kernel
def init_args(self, features, labels):
self.m, self.n = features.shape
self.X = features
self.Y = labels
self.b = 0.0
#将Ei保存在一个列表里
self.alpha = np.ones(self.m)
self.E = [self._E(i) for i in range(self.m)]
#松弛变量
self.C = 1.0
def _KKT(self, i):
y_g = self._g(i)*self.Y[i]
if self.alpha[i] == 0:
return y_g >= 1
elif 0 < self.alpha[i] < self.C:
return y_g == 1
else:
return y_g <= 1
#g(x) 预测值，输入xi（X[i]）
def _g(self, i):
r = self.b
for j in range(self.m):
r += self.alpha[j]*self.Y[j]*self.kernel(self.X[i], self.X[j])
return r
#核函数
def kernel(self, x1, x2):
if self._kernel == 'linear':
return sum([x1[k]*x2[k] for k in range(self.n)])
elif self._kernel == 'poly':
return (sum([x1[k]*x2[k] for k in range(self.n)])+1) ** 2
return 0
#E(x) 为g(x)对输入x的预测值和y的差
def _E(self, i):
return self._g(i) - self.Y[i]
def _init_alpha(self):
#外层循环首先遍历所有满足0<a<C的样本点，检查是否满足KKT
index_list = [i for i in range(self.m) if 0 < self.alpha[i] < self.C]
#否则遍历整个训练集
non_satisify_list = [i for i in range(self.m) if i not in index_list]
index_list.extend(non_satisify_list)
for i in index_list:
if self._KKT(i):
continue
E1 =self.E[i]
#如果E2是+，选择最小的；如果E2是-的，选择最大的;保证|E1-E2|最大
if E1 >= 0:
j = min(range(self.m), key = lambda x: self.E[x])
else:
j = max(range(self.m), key = lambda x: self.E[x])
return i, j
def _compare(self, _alpha, L, H):
if _alpha > H:
return H
elif _alpha < L:
return L
else:
return _alpha
def fit(self, features, labels):
self.init_args(features, labels)
for t in range(self.max_iter):
#train
i1, i2 = self._init_alpha()
#边界
if self.Y[i1] == self.Y[i2]:
L = max(0, self.alpha[i1] + self.alpha[i2] -self.C)
H = min(self.C, self.alpha[i1] + self.alpha[i2])
else:
L = max(0, self.alpha[i2] - self.alpha[i1])
H = min(self.C, self.alpha[i1] + self.alpha[i2])
E1 = self.E[i1]
E2 = self.E[i2]
#eta = K11+K22-2K12
eta = self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) + self.kernel(self.X[i2], self.X[i2]) - 2*self.kernel(self.X[i1], self.X[i2])
if eta <= 0:
continue
alpha2_new_unc = self.alpha[i2] + self.Y[i2] * (E2 - E1) / eta
alpha2_new = self._compare(alpha2_new_unc, L, H)
alpha1_new = self.alpha[i1] + self.Y[i1] * self.Y[i2] * (self.alpha[i2] -alpha2_new)
b1_new = -E1 - self.Y[i1] * self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) * (alpha1_new-self.alpha[i1]) - self.Y[i2] * self.kernel(self.X[i2], self.X[i1]) * (alpha2_new - self.alpha[i2]) + self.b
b2_new = -E2 - self.Y[i1] * self.kernel(self.X[i1], self.X[i2]) * (alpha1_new-self.alpha[i1]) - self.Y[i2] * self.kernel(self.X[i2], self.X[i2]) * (alpha2_new - self.alpha[i2]) + self.b
if 0 < alpha1_new < self.C:
b_new = b1_new
elif 0 < alpha2_new < self.C:
b_new = b2_new
else:
b_new = (b1_new + b2_new) / 2
#更新参数
self.alpha[i1] = alpha1_new
self.alpha[i2] = alpha2_new
self.b = b_new
self.E[i1] = self._E(i1)
self.E[i2] = self._g(i2)
return 'train done!'
def predict(self, data):
r = self.b
for i in range(self.m):
r += self.alpha[i] * self.Y[i] * self.kernel(data, self.X[i])
return 1 if r > 0 else -1
def score(self, X_test, y_test):
right_count = 0
for i in range(len(X_test)):
result = self.predict(X_test[i])
if result == y_test[i]:
right_count += 1
return right_count / len(X_test)
def _weight(self):
#linear model
yx = self.Y.reshape(-1, 1) * self.X
self.w = np.dot(yx.T, self.alpha)
return self.w
if __name__ == '__main__':
X,y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)
svm = SVM(max_iter=200)
svm.fit(X_train, y_train)
score = svm.score(X_test, y_test)
print(score)
w = svm._weight()
print(w)2.sklearn实现
官方英文文档手册：http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.svm.SVC.html
sklearn.svm模块提供了很多模型供我们使用，本文使用的是svm.SVC，它是基于libsvm实现的。
class sklearn.svm.SVC(C=1.0, kernel=’rbf’, degree=3, gamma=’auto_deprecated’, coef0=0.0,
shrinking=True, probability=False, tol=0.001, cache_size=200, class_weight=None,
verbose=False, max_iter=-1, decision_function_shape=’ovr’, random_state=None)[source]参数说明如下：
- C：惩罚项，float类型，可选参数，默认为1.0，C越大，即对分错样本的惩罚程度越大，因此在训练样本中准确率越高，但是泛化能力降低，也就是对测试数据的分类准确率降低。相反，减小C的话，容许训练样本中有一些误分类错误样本，泛化能力强。对于训练样本带有噪声的情况，一般采用后者，把训练样本集中错误分类的样本作为噪声。
- kernel：核函数类型，str类型，默认为’rbf’。可选参数为： ’linear’：线性核函数；‘poly’：多项式核函数；‘rbf’：径像核函数/高斯核；‘sigmod’：sigmod核函数；‘precomputed’：核矩阵；precomputed表示自己提前计算好核函数矩阵，这时候算法内部就不再用核函数去计算核矩阵，而是直接用你给的核矩阵，核矩阵需要为n*n的。
- degree：多项式核函数的阶数，int类型，可选参数，默认为3。这个参数只对多项式核函数有用，是指多项式核函数的阶数n，如果给的核函数参数是其他核函数，则会自动忽略该参数。
- gamma：核函数系数，float类型，可选参数，默认为auto。只对’rbf’ ,’poly’ ,’sigmod’有效。如果gamma为auto，代表其值为样本特征数的倒数，即1/n_features。
- coef0：核函数中的独立项，float类型，可选参数，默认为0.0。只有对’poly’ 和,’sigmod’核函数有用，是指其中的参数c。
- probability：是否启用概率估计，bool类型，可选参数，默认为False，这必须在调用fit()之前启用，并且会fit()方法速度变慢。
- shrinking：是否采用启发式收缩方式，bool类型，可选参数，默认为True。
- tol：svm停止训练的误差精度，float类型，可选参数，默认为1e^-3。
- cache_size：内存大小，float类型，可选参数，默认为200。指定训练所需要的内存，以MB为单位，默认为200MB。
- class_weight：类别权重，dict类型或str类型，可选参数，默认为None。给每个类别分别设置不同的惩罚参数C，如果没有给，则会给所有类别都给C=1，即前面参数指出的参数C。如果给定参数’balance’，则使用y的值自动调整与输入数据中的类频率成反比的权重。
- verbose：是否启用详细输出，bool类型，默认为False，此设置利用libsvm中的每个进程运行时设置，如果启用，可能无法在多线程上下文中正常工作。一般情况都设为False，不用管它。
- max_iter：最大迭代次数，int类型，默认为-1，表示不限制。
- decision_function_shape：决策函数类型，可选参数’ovo’和’ovr’，默认为’ovr’。’ovo’表示one vs one，’ovr’表示one vs rest。
- random_state：数据洗牌时的种子值，int类型，可选参数，默认为None。伪随机数发生器的种子,在混洗数据时用于概率估计。
#Author zsl
from math import exp
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
def create_data():
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
data = df.iloc[:100,[0,1,-1]]
data = np.array(data)
for i in range(len(data)):
if data[i,-1] == 0:
data[i,-1] = -1
return data[:,:2],data[:,-1]
if __name__ =="__main__":
X,y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.25)
clf = SVC(kernel='rbf')
clf.fit(X_train, y_train)
score = clf.score(X_test, y_test)
print(score)三、算法总结
优点
- 可用于线性/非线性分类，也可以用于回归，泛化错误率低，也就是说具有良好的学习能力，且学到的结果具有很好的推广性。
- 可以解决小样本情况下的机器学习问题，可以解决高维问题，可以避免神经网络结构选择和局部极小点问题。
- SVM是最好的现成的分类器，现成是指不加修改可直接使用。并且能够得到较低的错误率，SVM可以对训练集之外的数据点做很好的分类决策。
缺点
- 对参数调节和和函数的选择敏感。