一句话题意：给定一张图，每两点之间有一条有向边或无向边，把所有无向边定向，使图中三元环个数尽量多
因为原图是一个完全图，假设图中任意三点都能构成三元环，那么途中三元环的个数为：\(\binom{n}{3}\)。
那么如果一个三元组不是三元环，那么有一个点的出度为2。
我们假设一个点的出度为d，那么对于这个点，三元环会减少\(\frac{d (d-1)}{2}\)
所以三元环的数量为：\(\binom{n}{3}- \sum_{i=1}^n\binom{d[i]}{2}=\binom{n}{3}- \sum_{i=1}^n\frac{d[i] (d[i]-1)}{2}\)
所以我们要最小化：$ \sum_{i=1}^n\frac{d[i] (d[i]-1)}{2}$的值。
怎么做呢？
如果我们对于一条无向边，可能让u出度+1，也可能让v出度+1，非黑即白，所以我们可以考虑费用流。
观察柿子\(\frac{d[i] (d[i]-1)}{2}\)，容(hen)易(nan)想到小学等差数列求和公式，于是我们可以将一个点的贡献看成\((0+1+2+3+……+d[i]-1)\)
把每一条边看成一个点，从源点向每条边连一条容量为1，费用为0的边。
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对于一条无向边，往u，v分别建一条容量为1，费用为0的边。
有向边则把边和v建一条容量为1，费用为0的边。
每个点向汇点连n条容量为1，费用为0-(n-1)递增的边，表示上面的等差数列（可以表示出任何出度的情况）
最后就是费用流的板子了
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define inf 123456789
#define debug printf("Now is Line : %d\n",__LINE__)
il int read()
{
re int x=0,f=1; re char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
return x*f;
}
#define maxn 105
#define maxm 105*105
struct edge
{
int v,w,val,next;
}e[maxm<<3];
int n,a[maxn][maxn],S,T,maxflow,cost,vis[maxm],dis[maxm],head[maxm],cnt=1,pa;
il void add(int u,int v,int val,int w)
{
e[++cnt]=(edge){v,w,val,head[u]};
head[u]=cnt;
e[++cnt]=(edge){u,-w,0,head[v]};
head[v]=cnt;
}
queue<int>q;
il bool spfa()
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,127,sizeof(dis));
dis[S]=0; q.push(S);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
vis[u]=0;
for(re int i=head[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if(dis[v]>dis[u]+e[i].w&&e[i].val>0)
{
dis[v]=dis[u]+e[i].w;
if(!vis[v])
{
vis[v]=1;
q.push(v);
}
}
}
}
return dis[T]!=2139062143;
}
il int dfs(int u,int mi)
{
if(u==T)
{
vis[T]=1;
return mi;
}
vis[u]=1;
int use=0;
for(re int i=head[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if((!vis[v]||v==T)&&e[i].val>0&&dis[v]==dis[u]+e[i].w)
{
int low=dfs(v,min(mi-use,e[i].val));
if(low>0)
{
cost+=low*e[i].w;
e[i].val-=low; e[i^1].val+=low;
use+=low;
}
}
}
return use;
}
il void dinic()
{
while(spfa())
{
vis[T]=1;
while(vis[T])
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
dfs(S,inf);
}
}
int ans=((n-1)*(n-2)*n)/6;
ans-=cost;
printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
n=read(); T=n*n+n+1;
for(re int i=1;i<=n;++i)
{
for(re int j=1;j<=n;++j)
{
a[i][j]=read();
if(i>=j) continue;
if(a[i][j]==2)
{
add(S,(i-1)*n+j,1,0);
add((i-1)*n+j,n*n+i,1,0);
add((i-1)*n+j,n*n+j,1,0);
}
else if(a[i][j]==1) add(S,n*n+j,1,0);
else add(S,n*n+i,1,0);
}
}
for(re int i=1;i<=n;++i)
{
for(re int j=0;j<n;++j) add(n*n+i,T,1,j);
}
dinic();
for(re int i=1;i<=n;++i)
{
for(re int j=i+1;j<=n;++j)
{
if(a[i][j]<2) continue;
for(re int k=head[(i-1)*n+j];k;k=e[k].next)
{
if(e[k].v&&e[k].val==0)
{
a[i][j]=(e[k].v-n*n==j);
a[j][i]=a[i][j]^1;
}
}
}
}
for(re int i=1;i<=n;++i,puts(""))
{
for(re int j=1;j<=n;++j) printf("%d ",a[i][j]);
}
return 0;
}