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题解

考虑转成图：把每个人看做一个点，比赛为边，胜负确定的比赛的边指向胜的一方。两两之间都要进行比赛，是一个完全图。问题即为给定一些边的方向，现在需要给剩下的边定向，使得满足题目要求的三元环尽量多。
易得人数为 $n$ 时，三元环总数为 $\dbinom n3$ ，满足要求的三元环必然可以缩点，而考虑一个不满足条件的三元环：存在一个点在三元环中入度为 $2$ (同时存在另一点入度为 $0$ )，问题实际上转换成了枚举每个点的入度 $d_i$ ，答案即为：
$ans=\dbinom n3-\sum \limits_{i=1} ^n \dbinom {d_i}{2}$
考虑每个点和任意两个指向该点的点所构成的三元环都是不合法的，而情况只会被枚举到一次，所以不合法情况总共为 $\sum \limits_{i=1} ^n \dbinom {d_i}{2}$
而观察 $\dbinom {d_i}{2}=\dfrac {d_i(d_i-1)}2$ ，即为 $0+1+...+(d_i-1)$ 的等差数列和。
考虑最小费用最大流，源点到每个未定向边所代表的的点连流量为 $1$ ，费用为 $0$ 的边(限制每条边只能指向一端)，每个未定向边再向所连接的原图中的两个点连流量为 $1$ ，费用为 $0$ 的边，原图中的每个点再向汇点依次连接流量为 $1$ ，费用分别为 $0,1,2...,maxd$ ( $maxd$ 即为连接它的所有未定向边数量)。
这样跑一遍网络流就得到了边定向后的最小不合法数。至于输出答案，直接标记每条未定向边到两个点的反向边的流量即可。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e4+10,M=5e4+10,inf=0x7fffffff;
int n,S,T,vis[N],nt[N],fl[N],in[110],ot[110],bel[N],dis[N],mp[N][N];
int head[N],cur[N],nxt[M],to[M],w[M],cc[M],tot=1,sum,inq[N];
struct P{
  int x,y;
  P(){}
  P(int X,int Y){x=X;y=Y;}
}rv[N];

inline void lk(int u,int v,int vv,int ff)
{
    to[++tot]=v;nxt[tot]=head[u];head[u]=tot;w[tot]=vv;cc[tot]=ff;
    to[++tot]=u;nxt[tot]=head[v];head[v]=tot;w[tot]=0;cc[tot]=-ff;
}

inline int rk(int x,int y)
{return ((n<<1)-x)*(x-1)/2+y-x;}

queue<int>Q;
inline bool bfs()
{
    int i,j,x;
    for(i=1;i<=T;++i) dis[i]=inf;
    dis[T]=0;
    Q.push(T);
    inq[T]=1;
    for(;!Q.empty();){
        x=Q.front();Q.pop();//Q.pop_front();
        for(i=head[x];i;i=nxt[i]){
            j=to[i];
            if(w[i^1] && dis[j]>dis[x]-cc[i]){
                dis[j]=dis[x]-cc[i];nt[j]=x;fl[j]=i^1;
                if(inq[j]) continue;
                Q.push(j);inq[j]=1;
            }
        }
        inq[x]=0;
    }
    return (dis[S]<inf);
}

int main(){
    register int i,j,op,res,lim,bs=0,x,y;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i)
     for(j=1;j<=n;++j){
        scanf("%d",&op);if(i>=j) continue;
        if(op!=2){
           if(op) in[i]++,ot[j]++;else ot[i]++,in[j]++;
           mp[i][j]=op;mp[j][i]=op^1;
           continue;
        }
        res=++bs;rv[res]=P(i,j);
     }
     S=bs+n+1;T=S+1;
    for(i=1;i<=bs;++i){
        lk(S,i,1,0);
        lk(i,rv[i].x+bs,1,0);bel[i]=tot;
        lk(i,rv[i].y+bs,1,0);
    }
    for(i=1;i<=n;++i){
        sum+=(in[i]-1)*in[i]/2;
        lim=n-1-in[i]-ot[i];
        for(j=0;j<lim;++j)
         lk(bs+i,T,1,in[i]+j);
    }
    for(;bfs();){
        res=inf;
        for(i=S;i!=T;i=nt[i]) 
          res=min(res,w[fl[i]]);
        sum+=dis[S]*res;
        for(i=S;i!=T;i=nt[i]) w[fl[i]]-=res,w[fl[i]^1]+=res;
    }
    for(i=1;i<=bs;++i){
        x=rv[i].x;y=rv[i].y;
        mp[x][y]=w[bel[i]];
        mp[y][x]=w[bel[i]]^1;
    }
    printf("%d\n",n*(n-1)*(n-2)/6-sum);
    for(i=1;i<=n;++i){
        for(j=1;j<=n;++j) printf("%d ",mp[i][j]);
        puts("");
    }
}

【BZOJ】2597: [Wc2007]剪刀石头布 -费用流&组合数学

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