洛谷$P4249\ [WC2007]$剪刀石头布 网络流

正解:网络流

解题报告:

传送门$QwQ$

题目大意其实就说有一个$n$个节点的有向完全图,然后部分边的方向已经给定了,要求确定所有边的方向使三元环数目有$max$.这里三元环的定义是说三条边的方向一致,即同为顺逆时针$QwQ$

话说这种三元环问题通常就是考虑点的度数?考虑下如果是非三元环一定是有一个入度为2的点,考虑枚举这种点,那就有$as=\binom{n}{3}-\sum\binom{in_i}{2}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-\sum\frac{in_i^2-in_i}{2}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}+\frac{n(n-1)}{2}-\sum\frac{in_i^2}{2}$,所以现在就是要最小化这个,$\sum\frac{in_i^2}{2}$

这时候要用到费用递增$QwQ$,因为之前都没安利过这个姿势的样子所以大概港下,,,也不会很详细港的因为懒$bushi$

就对于某条边,若费用是关于流量的一个函数,且满足斜率单调增,可以考虑拆边,第$x$条边就$f_{x}-f_{x-1}$,然后就欧克克辣$QwQ$

所以这里一样的嘛,由前面得$f(x)=x^2$显然递增,所以像前面说的那样拆边就好$QwQ$

欧克最后总结下怎么建图$QwQ$?考虑建一排点表示未定向的边,再建一排点表示所有点,于是就$S$向边连流量为1费用为0的边,边向端点连流量为1费用为0的边,各点向$T$连边如上想法

然后就做完辣?

$QwQ$