梯度与散度与拉普拉斯算子

梯度（矢量）

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）

假设一个三元函数  在空间区域G内具有一阶连续偏导数，点  ，称向量 

为函数  在的梯度，记为  或  

即     =  

                              = 

                              ,,

其中      

称为（三维的）向量微分算子或Nabla算子，

  。

同样，该梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

散度（标量），计算符号是“▽·”

   散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。

散度是作用在向量场上的一个算子。用三维空间来举例，向量场就是在空间每一点处都对应一个三维向量的向量函数：

。

。 它是一个标量函数(场)，也就是说，在定义空间中每一点的散度是一个值。

矢量V的散度在笛卡尔坐标（直角坐标系）下的表达式：

                                                        

向量场A，数量场u

▽称为汉密尔顿算子，  ▽·▽=△，

△称为拉普拉斯算子。

梯度▽u

散度▽·A   （点乘结果为数）

两者之间一个有“.”符号，一个没有“.”符号！！！

拉普拉斯算子

      拉普拉斯算子（Laplace Operator）是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。

    

          =div(grad f)

笛卡尔坐标系下的表示法

                      

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