递推与递归
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概念
- 递归：从已知问题的结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为递归。
- 递归的定义：在一个函数的定义中又直接或间接地调用本身。
- 递归思想： 把规模大的、较难解决的问题变成规模较小的、易解决的同一问题。规模较小的问题又变成规模更小的问题，并且小到一定程度可以直接得出它的解，从而得到原来问题的解。
- 递归优点： 符合人的思维方式，递归程序结构清晰，可读性，容易理解
- 递归缺点： 通过调用函数实现，当递归层数过多时，程序的效率低。例如求Fibonacii数列的第1000项?
- 递归的应用场合：
1、数据的定义形式是递归的，例如求Fibonacii数列的第n项 。
2、数据之间的逻辑关系（即数据结构）是递归的，如树、图等的定义和操作。
3、某些问题虽然没有明显的递归关系或结构，但问题的解法是不断重复执行一组操作，只是问题规模由大化小，直至某个原操作（基本操作）就结束。例如：汉诺塔问题。
- 递归设计的要素：
1、在函数中必须有直接或间接调用自身的语句；
2、在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口（或递归边界）。
编写递归算法时，首先要对问题的以下三个方面进行分析：
- 决定问题规模的参数。
需要用递归算法解决的问题，其规模通常都是比较大的，在问题中决定规模大小（或问题复杂程度）的量有哪些？把它们找出来。
- 问题的边界条件及边界值。
在什么情况下可以直接得出问题的解？这就是问题的边界条件及边界值。
- 解决问题的通式。
把规模大的、较难解决的问题变成规模较小、易解决的同一问题，需要通过哪些步骤或公式来实现？这是解决递归问题的难点。把这些步骤或公式确定下来。
- 递推：递推算法是一种用若干步可重复运算来描述复杂问题的方法。递推是序列计算中的一种常用算法。通常是通过计算机前面的一些项来得出序列中的指定象的值。
- 递推：数学推导 发现规律 重复简单运算
- 递归与递推区别：相对于递归算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,而直接从边界出发,直到求出函数值。
算法举例1
- 斐波那契数列：已知f(1) = 1 , f(2) = 1 , 且满足关系式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，则f(50)等于多少？
- 分析：根据初始条件f(1) = 1 , f(2) = 1 和关系式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可知，f(3) = f(2) + f(1) , f(3) = f(2) + f(1) …….
- 编写代码（递归）
public class Fibonacci {
static int fun(int n){
if(n == 1 || n == 2){
return 1 ;
}else{
return fun(n-1) + fun(n-2) ;
}
}
public static void main(String[] args) {
for(int i = 1 ; i <= 15 ; ++i)
System.out.println(fun(i));
}
}- 编写代码（递推）
static int fun2(int n){
int a[] = new int[20] ;
a[1] = 1 ;
a[2] = 1 ;
for(int i=3 ; i<=n ;i++){
a[i] = a[i-1] + a[i-2] ;
}
return a[n] ;
}- 运行结果：
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
算法举例2
- 使用递归计算1+2+…+100 ；
- 分析：递归关系为f(n) = f(n-1) + n ，递归出口为f(1) = 1 ;
- 编写代码（递归）：
public class Sum {
static int fun(int n){
if( n == 1){
return 1 ;
}else{
return fun(n-1) + n ;
}
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
System.out.println(fun(100));
}
}- 编写代码（递推）
static int fun2(int n){
int a[] = new int [200] ;
a[1] = 1 ;
for(int i=2 ; i<=n ; i++){
a[i] = a[i-1] + i ;
}
return a[n] ;
}- 运行结果：
5050
算法举例3
- 爬楼问题：假设有n阶楼梯，每次可爬1阶或2阶，则爬到第n层有几种方案？
- 问题分析：
- 假设一阶时只有一种方案f(1) = 1 ;
- 二阶时有两种方案（即一次走一阶和一次走两阶）f(2) = 2 ;
- 三阶时有3种 f(3) = 3 ;
- 四阶时有五种 f(5) = 5 ;
- 发现递归规律f(n) = f(n-1) + f(n-2) ;
- 递归出口为f(1) = 1、f(2) = 2 ;
- 编写代码（递归）：
public class Ladder {
static int fun(int n){
if(n == 1){
return 1 ;
}else if(n == 2){
return 2 ;
}else{
return fun(n-1) + fun(n-2) ;
}
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
System.out.println(fun(5));
}
}- 编写代码（递推）：
static int fun2(int n){
int a[] = new int [200] ;
a[1] = 1 ;
a[2] = 2 ;
for(int i=3 ; i<=n ;i++){
a[i] = a[i-1] + a[i-2] ;
}
return a[n] ;
}- 运行结果：
8
由上述例子可知，递归的重点是找到递归关系和递归出口。
递 推 小 结：
1、递推是从已知条件开始；
2、递推必须有明确的通用公式；
3、递推必须是有限次运算。
递 归 小 结：
1. 递归：未知的推到已知的，再由此返回。
2. 基本思想：将复杂的操作分解为若干重复的简单操作。
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作者：叶清逸
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/u013634252/article/details/80551060
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