【校内训练2019-01-15】鸡

【思路要点】

考虑快速模拟 $Kruskal$ 算法。

具体来说，对于所有长度为 $i$ 的边，我们需要计算有多少条连接了两个由长度不足 $i$ 的边连成的不同联通块，并不会与其余长度为 $i$ 的边连接的联通块成环，记条数为 $cnt_i$ ，则 $Ans=\sum_{i=0}^{M}i*cnt_i$ 。

以所有给定的点为起点，进行 $bfs$ ，求得将每一个点 $i$ 修改到某一个起点的最小修改距离 $dist_i$ 。

将一条最小生成树上长度为 $len$ 的边看做 $len$ 次异或一位操作的结果，可以证明，这些操作存在相邻的中间结果 $(x,y)$ ，满足 $dist_x=\lfloor\frac{len}{2}\rfloor,dist_y=\lceil\frac{len}{2}\rceil$ ，即路径最中间相邻的两点 $(x,y)$ 满足 $dist_x=\lfloor\frac{len}{2}\rfloor,dist_y=\lceil\frac{len}{2}\rceil$ 。

进而有 $|dist_x-dist_y|≤1$ ，因此，我们可以直接从小到大枚举 $len$ ，计算出 $dist_x,dist_y$ ，然后将尚未连通的部分用并查集合并起来，具体实现可以参见代码。

时间复杂度 $O(T*(N*M+M*2^M))$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
const int MAXV = (1 << 20) + 5;
const int MAXM = 25;
const int INF = 1e9;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int n, m, a[MAXN];
int dist[MAXV], f[MAXV];
int F(int x) {
	if (f[x] == -1) return -1;
	if (f[x] == x) return x;
	else return f[x] = F(f[x]);
}
int main() {
	freopen("ji.in", "r", stdin);
	freopen("ji.out", "w", stdout);
	int T; read(T);
	while (T--) {
		read(m), read(n);
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			static char s[MAXM];
			scanf("\n%s", s + 1);
			int res = 0;
			for (int j = 1; j <= m; j++)
				res = res * 2 + (s[j] == 'L');
			a[i] = res;
		}
		int goal = (1 << m) - 1;
		for (int i = 0; i <= goal; i++) {
			f[i] = -1;
			dist[i] = INF;
		}
		static int q[MAXV]; int l = 1, r = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (f[a[i]] == -1) q[++r] = a[i];
			f[a[i]] = a[i], dist[a[i]] = 0;
		}
		while (l <= r) {
			int pos = q[l++];
			for (int i = 0; i <= m - 1; i++) {
				int dest = pos ^ (1 << i);
				if (dist[pos] + 1 < dist[dest]) {
					dist[dest] = dist[pos] + 1;
					q[++r] = dest;
				}
			}
		}
		int ans = 0;
		for (int len = 0; len <= m; len++) {
			for (int pos = 0; pos <= goal; pos++)
				if (dist[pos] == len) {
					for (int i = 0; i <= m - 1; i++) {
						int dest = pos ^ (1 << i);
						if (dist[dest] < dist[pos]) {
							if (f[pos] == -1) f[pos] = F(dest);
							else if (F(pos) != F(dest)) {
								ans += dist[pos] + dist[dest] + 1;
								f[F(pos)] = F(dest);
							}
						}
					}
				}
			for (int pos = 0; pos <= goal; pos++)
				if (dist[pos] == len) {
					for (int i = 0; i <= m - 1; i++) {
						int dest = pos ^ (1 << i);
						if (dist[dest] == dist[pos]) {
							if (f[pos] == -1) f[pos] = F(dest);
							else if (f[dest] == -1) f[dest] = F(pos);
							else if (F(pos) != F(dest)) {
								ans += dist[pos] + dist[dest] + 1;
								f[F(pos)] = F(dest);
							}
						}
					}
				}
		}
		writeln(ans);
	}
	return 0;
}

【校内训练2019-01-15】鸡

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