【校内训练2019-04-09】Wsm

【思路要点】

考虑合法序列 $A$ 的性质：
$(1)$ 、 $A$ 包含 $0$ 。
$(2)$ 、若 $0\sim x-1$ 均在 $A$ 中，那么对于任意自然数 $k$ ， $kx\sim (k+1)x-1$ 或是均在 $A$ 中，或是均不在 $A$ 中。
$(3)$ 、若 $A$ 中次小的元素为 $x$ ，不是 $x$ 的倍数的元素一定不在 $A$ 中。

以上三点性质均不难证明，并且，对于任意满足以上性质的序列 $A$ ，我们都可以构造出合适的序列 $B$ 。

考虑如何生成所有合法的序列 $A$ 。

记 $f(i,j)$ 表示当 $S=i\times j,m=i$ 时，包含 $1$ 的序列 $A$ 的个数， $g(i,j)$ 表示当 $S=i\times j,m=i$ 时，不包含 $1$ 的序列 $A$ 的个数，由以上性质 $(2),(3)$ ，有：
$f(i,j)=\sum_{d\mid i,d>1}g(\frac{i}{d},j)$
$g(i,j)=\sum_{d\mid j,d>1}f(i,\frac{j}{d})$

所求答案即为 $f(m,\frac{S}{m})+g(m,\frac{S}{m})$ 。

考虑上式的组合意义，即从点 $(m,\frac{S}{m})$ 开始，交替将坐标的某一维除去一个非 $1$ 因数，直到某一维坐标为 $1$ ，求方案数。

记 $f_i$ 表示 $m$ 除去 $i$ 次非 $1$ 因数后得到 $1$ 的方案数， $g_i$ 表示 $\frac{S}{m}$ 除去 $i$ 次非 $1$ 因数后得到 $1$ 的方案数，那么考虑枚举第一次和最后一次除去了坐标的哪一维，有
$Ans=\sum_{i}f_ig_{i+1}+f_{i+1}g_i+2f_ig_i$

考虑如何计算 $f_i,g_i$ ，下面讨论计算 $f_i$ 的方式， $g_i$ 相同。

令 $m=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}\dots p_n^{k_n}$ ，考虑对 “非 $1$ 因数” 的限制容斥，有
$f_i=\prod_{j=1}^{n}\binom{i+k_j-1}{i-1}-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{i}{j}\times f_j$

时间复杂度 $O(\frac{\sqrt{V}}{LogV}+Log^2V)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5;
const int MAXLOG = 205;
const int P = 998244353;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int tot, prime[MAXN], Min[MAXN];
int binom[MAXLOG][MAXLOG];
int f[MAXLOG], g[MAXLOG];
vector <int> a, b;
void sieve(int n) {
	for (int i = 0; i < MAXLOG; i++) {
		binom[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j <= i; j++)
			binom[i][j] = (binom[i - 1][j - 1] + binom[i - 1][j]) % P;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (Min[i] == 0) prime[++tot] = Min[i] = i;
		for (int j = 1; j <= tot && prime[j] <= Min[i]; j++) {
			int tmp = prime[j] * i;
			if (tmp > n) break;
			Min[tmp] = prime[j];
		}
	}
}
void factor(ll n, vector <int> &a) {
	for (int i = 1; i <= tot && 1ll * prime[i] * prime[i] <= n; i++)
		if (n % prime[i] == 0) {
			int cnt = 0;
			while (n % prime[i] == 0) {
				cnt++;
				n /= prime[i];
			}
			a.push_back(cnt);
		}
	if (n != 1) a.push_back(1);
}
void update(int &x, int y) {
	x += y;
	if (x >= P) x -= P;
}
int main() {
	freopen("wsm.in", "r", stdin);
	freopen("wsm.out", "w", stdout);
	sieve(1e6);
	int T; read(T);
	while (T--) {
		ll n, m; read(n), read(m);
		a.clear(), b.clear();
		if (n == m || m == 1) {
			printf("%d\n", 1);
			continue;
		}
		factor(n / m, a);
		factor(m, b);
		int lim = 100;
		for (int i = 1; i <= lim; i++) {
			int fans = 1, gans = 1;
			for (auto x : a) fans = 1ll * fans * binom[i + x - 1][i - 1] % P;
			for (auto x : b) gans = 1ll * gans * binom[i + x - 1][i - 1] % P;
			for (int j = 1; j <= i - 1; j++) {
				update(fans, P - 1ll * f[j] * binom[i][j] % P);
				update(gans, P - 1ll * g[j] * binom[i][j] % P);
			}
			f[i] = fans, g[i] = gans;
		}
		int ans = 0;
		for (int i = 1; i <= lim; i++) {
			update(ans, 2ll * f[i] * g[i] % P);
			update(ans, 1ll * f[i + 1] * g[i] % P);
			update(ans, 1ll * f[i] * g[i + 1] % P);
		}
		writeln(ans);
	}
	return 0;
}

【校内训练2019-04-09】Wsm

猜你喜欢