【校内训练2019-02-20】K-Beautiful Tree

【思路要点】

令题目中的 $k$ 为 $m$ ，考虑 $m=1$ 的情况，即所有同色点不能相邻。

我们可以使用容斥原理来解决该问题，即强制树上出现 $i$ 条连接同色点的边，将答案乘上 $(-1)^i$ 计入答案。

将同色的点划分为若干个集合，令集合大小为 $i$ ，则乘上容斥系数 $(-1)^i$ 。强制集合内的点在树上为一个联通块，再计算联通块之间的连边方案数即可。

$M$ 个总大小为 $N$ ，分别大小为 $a_i$ 的联通块之间的的连边方案数为 $N^{M-2}\prod a_i$ ，将 $\prod a_i$ 的贡献放在转移的时候处理，我们只需要在状态中记录 $M$ 即可。

考虑 $m>1$ 的情况，我们仍然可以沿用上述思路，先将同色的点分成若干个大小不超过 $m$ 的小联通块，再强制这些小连通块之间同色的不能相邻。

具体而言，记 $divide_{i,j}$ 表示将 $i$ 个点分成 $j$ 个大小不超过 $m$ 的小联通块，小联通块中各自生成树的个数与其大小的乘积的和，有：
$divide_{i,j}=\sum_{k=1}^{min(i,m)}k^{k-2}*k*\binom{i-1}{k-1}*divide_{i-k,j-1}$

记 $subt_i$ 表示一个大小为 $i$ 的点集，分成若干大小不超过 $m$ 的小联通块后，再连若干条边使其成为一棵生成树，并且每连一条边，需要乘以容斥系数 $-1$ 的方案数，有：
$subt_{i}=\sum_{j=1}^{i}(-1)^{j-1}*i^{j-2}*divide_{i,j}$

记 $coef_{i,j}$ 表示一个大小为 $i$ 的点集，分成 $j$ 个大联通块，每一个大联通块分成若干大小不超过 $m$ 的小联通块，大联通块内部连接小联通块的边存在 $-1$ 的贡献的连边方案数，和大联通块大小的乘积的总和，有：
$coef_{i,j}=\sum_{k=1}^{i}subt_k*k*\binom{i-1}{k-1}*coef_{i-k,j-1}$

最后，利用 $coef_{i,j}$ 进行我们最开始说明的动态规划即可。

时间复杂度 $O(N^3)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 305;
const int P = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int n, m, cnt[MAXN], spawnt[MAXN], subt[MAXN], dp[MAXN][MAXN];
int binom[MAXN][MAXN], divide[MAXN][MAXN], coef[MAXN][MAXN];
void update(int &x, int y) {
	x += y;
	if (x >= P) x -= P;
}
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
int main() {
	freopen("tree.in", "r", stdin);
	freopen("tree.out", "w", stdout);
	read(n), read(m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int x; read(x);
		cnt[x]++;
	}
	spawnt[0] = spawnt[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		spawnt[i] = power(i, i - 2);
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		binom[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j <= i; j++)
			binom[i][j] = (binom[i - 1][j - 1] + binom[i - 1][j]) % P;
	}
	divide[0][0] = subt[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1, mul = power(i, P - 2); j <= i; j++, mul = 1ll * mul * i % P) {
		int tmp = 0;
		for (int k = 1; k <= i && k <= m; k++)
			update(tmp, 1ll * spawnt[k] * k % P * binom[i - 1][k - 1] % P * divide[i - k][j - 1] % P);
		divide[i][j] = tmp;
		if (j % 2) update(subt[i], 1ll * tmp * mul % P);
		else update(subt[i], P - 1ll * tmp * mul % P);
	}
	coef[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; j <= i; j++) {
		int tmp = 0;
		for (int k = 1; k <= i; k++)
			update(tmp, 1ll * binom[i - 1][k - 1] * coef[i - k][j - 1] % P * subt[k] % P * k % P);
		coef[i][j] = tmp;
	}
	dp[0][0] = 1;
	for (int i = 0; i <= n - 1; i++)
	for (int j = 0; j <= n; j++) {
		if (dp[i][j] == 0) continue;
		int tmp = dp[i][j];
		for (int k = 0; k <= cnt[i + 1]; k++)
			update(dp[i + 1][j + k], 1ll * tmp * coef[cnt[i + 1]][k] % P);
	}
	int ans = 0, mul = power(n, P - 2);
	for (int i = 1; i <= n; i++, mul = 1ll * mul * n % P)
		update(ans, 1ll * dp[n][i] * mul % P);
	writeln(ans);
	return 0;
}

【校内训练2019-02-20】K-Beautiful Tree

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