3. Tile a Grid With Dominoes
We wish to tile a grid 4 units high and N units long with rectangles (dominoes) 2 units by one unit (in either orientation). For example, the figure shows the five different ways that a grid 4 units high and 2 units wide may be tiled.
Input
The first line of input contains a single integer N,(1<=N<=1000)which is the number of datasets that follow.
Each dataset contains a single decimal integer, the width,W, of the grid for this problem instance.
Output
For each problem instance, there is one line of output: The problem instance number as a decimal integer (start counting at one), a single space and the number of tilings of a 4-by-W grid. The values of W will be chosen so the count will fit in a 32-bit integer.
Sample Input
3
2
3
7
Sample Output
1 5
2 11
3 781
题目解释：使用大小为2*1的木块去组合成宽为W，高为4的矩形，求解方法数。
解题思路：使用动态规划实现求解。
动态规划算法的使用关键是起始状态和状态方程。 我们假设从左到右开始堆叠方块，使用二维数组dp记录，其中dp[i][j]表示叠到第i列的时候，状态为j的方法数。这个算法就是把矩形分成4*N个长宽都为1的正方块。dp[i][j]当矩阵宽为4，从上到下代表4位的二进制数字，当对应的数位为0时，表示那一列的那一个块是横放的，所以会影响到下一列。而且因为为2，最多只会影响到下一列。
（1）初始条件。不妨设想一下，我们目前为空，我们开始堆叠第1列，那么有多少种叠法呢？全部情况如下图所示：
所以这是一个初始状态 dp[1][0] = dp[1][3] = dp[1][6] = dp[1][12] = dp[1][15] = 1; 其中初始状态只能为0，3，6，12，15。其中0表示没有被覆盖，1表示已经被覆盖
（2）状态方程
说明第i-1列的状态为0，3，6，12，15的时候都能实现第i列状态为15（1111）
因此有: dp[i][15] = dp[i-1][0] + dp[i-1][3] + dp[i-1][6] + dp[i-1][12] + dp[i-1][15];
同理：
dp[i][12] = dp[i-1][3] + dp[i-1][15];
（这条公式表示第i列当从上到下第三个格和第四格子需要横着放置俄罗斯方块时，第i-1列可能的情况有，i-1列第一第二行横放，或者i-1列全部的方块都不影响到下一列）一下的几条公式也类似
dp[i][9] = dp[i-1][6];
dp[i][6] = dp[i-1][9] + dp[i-1][15];
dp[i][3] = dp[i-1][15] + dp[i-1][12];
dp[i][0] = dp[i-1][15];
（3）最终要求的是宽度为W的方法数，也就是dp[w][15]的值
代码
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
int caseNum, w;
int dp[1005][16]; // 状态矩阵
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
cin >> caseNum;
int curIndex = 1;
while (curIndex <= caseNum) {
cin >> w;
if(w == 0) {
cout << curIndex++ << " "<< 0 << endl;
continue;
}
memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[1][0] = dp[1][3] = dp[1][6] = dp[1][12] = dp[1][15] = 1;
for (int i = 2; i <= w; i++) {
dp[i][15] = dp[i-1][0] + dp[i-1][3] + dp[i-1][6] + dp[i-1][12] + dp[i-1][15];
dp[i][12] = dp[i-1][3] + dp[i-1][15];
dp[i][9] = dp[i-1][6];
dp[i][6] = dp[i-1][9] + dp[i-1][15];
dp[i][3] = dp[i-1][15] + dp[i-1][12];
dp[i][0] = dp[i-1][15];
}
cout << curIndex++ << " " << dp[w][15] << endl;
}
return 0;
}