追本溯源，什么是八皇后问题？
什么是八皇后问题？八皇后问题（Eight queens puzzle）起源于国际象棋，在国际象棋中，皇后的势力范围是它所在的行、列以及对角线，八皇后问题就是如何在一个 8×8 的棋盘上放置八个皇后，使得这八个皇后不能互相攻击（怎么听起来像是后宫戏啊）。换句话说就是，任何一个皇后都不会与其他皇后在同一行、同一列或者同一条对角线上。
八皇后问题是一个古老而又著名的问题，提出这个问题的并不是一个皇帝，而是由国际象棋棋手马克思·贝瑟尔于1848年提出。该问题一公布，立刻引起了数学家们的兴趣。1850年，弗朗兹·诺克公布了该问题的第一个解，并首次将八皇后问题扩展至 N 皇后问题，即在 N×N 的棋盘上放置 N 个皇后，使其不能相互攻击。
从那以后，包括高斯在内的许多数学家都研究过八皇后问题及其推广版本 N 皇后问题。1874年，S.冈德尔提出了一个通过行列式来求解的方法，这个方法后来又被J.W.L.格莱舍加以改进。1972年，Dijkstra 以这个问题为例说明来说明他提出的结构性编程的能力。他发表了一篇关于深度优先回溯算法的非常详细的描述。
而本文正是基于大神 Dijkstra 的回溯算法来向读者朋友们介绍 N 皇后问题的解法。
你的第一反应？
当你看完问题描述时，你的第一反应是什么？反正我首先想到的就是暴力求解法。所谓暴力求解，就是不管三七二十一，怼就完了。你不是在 8×8 的棋盘上放置八个皇后吗？行，那我就把所有的放置方案穷举出来，然后一一考查，把不符合要求的方案踢掉，那么剩下的不就是问题的解了吗？思路简单清晰，看似没毛病，很黄。。。咳咳，不对，很暴力。
但是仔细分析一下，我们就会发现，在 8×8 的棋盘上放置八个皇后，总共有 4, 426, 165, 368（也就是 ）种放置方案。暂且不考虑如何验证每个方案的正确与否，单是遍历这 44 亿个方案，恐怕就要等很长时间。所以这种暴力求解法虽然逻辑上说得通，但是在实践中是没有可行性的。
可能有人会说了，何不改进一下？我们不需要八个皇后在棋盘上的所有排列组合，既然皇后之间不能相互攻击，那么每行只能放一个皇后，这样的话，候选方案的数量就减少至 16, 777, 216（即 ）。再进一步优化，不难发现，棋盘的每一列也只能放一个皇后，所以候选方案的数量又进一步减少至 40, 320（即 8!)。
现在看起来似乎经过优化的暴力求解有了一定的可行性，它变得和蔼可亲了，不再那么面目狰狞了。但是，别着急，事情还没完。
主角登场
在前面优化后所得到的 40, 320 个候选方案中，依然存在大量的冗余。比如说，看下面这张图，蓝色方块表示已经放好的皇后，在我们放第 6 个皇后时，会发现无论放到哪里它都会被攻击。在这种情况下，后续第 7 个、第 8 个皇后的试探都必将是徒劳的。然而，在这 4 万多个候选方案中，就有大量的方案做了这种无用功。所以说，虽然我们已经将候选方案从 44 亿优化到了 4 万，但是仍然具有很大的改进空间。
正确的做法是，当我们发现第 k（1 <= k <= N） 个皇后摆放在任何位置都会造成冲突时，应该回溯到第 k-1 个皇后，改变第 k-1 个皇后的位置，再继续向下试探。这就是所谓的试探回溯法。
举个例子
简单起见，我们将问题规模减小到 N=4，即四皇后问题，看一下如何用试探回溯法解决四皇后问题。
首先试探第一行皇后，如图 (a) 所示将其暂置于第 1 列，同时列号入栈。接下来再试探第二行皇后，如图 (b) 所示在排除前两列后，将其暂置于第 3 列，同时列号入栈。然而此后试探第三行皇后时，如图 © 所示发现所有列均有冲突。于是回溯到第二行，并如图 (d) 所示将第二行皇后调整到第 4 列，同时更新栈顶列号。后续各步原理相同，直至图 (l) 所有列均放置上皇后，得到一个全局解。
同理，这个方法也适用于八皇后乃至 N ( N >= 4 ) 皇后问题。而如果采用该方法来解决八皇后问题，试探的次数将减少至 13664 次。注意，这是试探的次数，每放置一个皇后就算一次试探，而我们之前讨论的暴力求解法，是将候选方案优化到 40320 个，而要放置 8 个皇后才构成一个候选方案。算法的威力可见一斑。
代码
要实现这样一个试探回溯算法，栈是必不可少的，因为要用栈来记录已经放置到棋盘上的皇后的状态，便于回溯。其次，皇后是组成棋局和最终解的基本单元，因此需要实现对应的 Queen 类。具体代码如下：
class Queen {
public:
int x, y; //皇后在棋盘上的位置坐标
Queen(int xx = 0, int yy = 0) : x(xx), y(yy) {};
bool operator==(Queen const& q) const { //重载判等操作符，以检测不同皇后之间可能的冲突
return (x == q.x) //行冲突，因为限制每行只能放一个皇后，所以这一情况并不会发生，可省略
|| (y == q.y) //列冲突
|| (x + y == q.x + q.y) //沿正对角线冲突
|| (x - y == q.x - q.y); //沿反对角线冲突
}
bool operator!= (Queen const& q) const { //重载不等操作符
return !(*this == q);
}
};
有了皇后类以后，就可以写核心代码了：
void placeQueens ( int N ) { //N皇后算法（迭代版）：采用试探/回溯的策略，借助栈记录查找的结果
Stack<Queen> solu; //存放（部分）解的栈
Queen q ( 0, 0 ); //从原点位置出发
Vector<Queen> solu_vector;
do { //反复试探、回溯
if ( N <= solu.size() || N <= q.y ) { //若已出界，则
q = solu.pop(); q.y++; //回溯一行，并继续试探下一列
} else { //否则，试探下一行
while ( ( q.y < N ) && ( 0 <= solu.find ( q ) ) ) //通过与已有皇后的比对
/*DSA*///while ((q.y < N) && (solu.find(q))) //（若基于List实现Stack，则find()返回值的语义有所不同）
{ q.y++; nCheck++; } //尝试找到可摆放下一皇后的列
if ( N > q.y ) { //若存在可摆放的列，则
solu.push ( q ); //摆上当前皇后，并
if (N <= solu.size()) {
nSolu++; //若部分解已成为全局解，则通过全局变量nSolu计数
displaySolution(solu.toVector()); //打印结果
}
q.x++; q.y = 0; //转入下一行，从第0列开始，试探下一皇后
}
}/*DSA*/
} while ( ( 0 < q.x ) || ( q.y < N ) ); //所有分支均已或穷举或剪枝之后，算法结束
}
还能改进吗？
其实在理解了试探回溯法的原理之后，八皇后问题乃至 N 皇后问题还可以有更精简的解决方法。甚至不用借助于栈，只用一个数组就可以搞定。代码如下：
#pragma once
#include "display.h"
int nSolu = 0; //解的总数
int nCheck = 0; //尝试的总次数
/*判断第 k 个皇后是否与之前的 k-1 个皇后冲突（既可以互相攻击）
如果与任一皇后冲突，则返回 true，否则返回false*/
bool conflict(int k, int* solu) {
for (int i = 0; i < k; i++) {
if (solu[k] == solu[i] || (k + solu[k]) == (i + solu[i]) || (k - solu[k]) == (i - solu[i])) {
return true;
}
}
return false;
}
/*利用纯数组解决 N 皇后问题*/
void placeQueensWithPureArray(unsigned int N) {
int* solu = new int[N];
int size = 0;
solu[0] = 0; //从原点位置出发
do { //反复试探、回溯
if (N <= size || N <= solu[size]) { //若以出界
size--; solu[size]++; //回溯一行，并继续试探下一列
}else { //否则，试探下一行
while (solu[size] < N && conflict(size, solu)) { //通过与已有皇后的比对
solu[size]++; //尝试找到可摆放下一皇后的列
nCheck++;
}
if (solu[size] < N) { //若存在可摆放的列
size++; //当前解的规模加 1
if (N <= size) { //若解的规模已构成全局解
nSolu++; //全局解的数量加 1
displaySolution(solu, N); //打印全局解
}
solu[size] = 0; //转入下一行，从第0列开始，试探下一皇后
}
}
} while (0 < size || solu[size] < N);
}
本文完整代码已上传至 GitHub，可点击这里获取。
参考资料：
《数据结构（C++语言版）》，邓俊辉 编著，清华大学出版社，ISBN 978-7-302-33064-6
维基百科 - Eight queens puzzle
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