Deeplearning.ai吴恩达笔记之循环神经网络1

Recurrent Neural Networks

Why sequence models

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这些序列模型基本都属于监督式学习，输入x和输出y不一定都是序列模型。如果都是序列模型的话，模型长度不一定完全一致。

Notation

输入x：如“Harry Potter and Herminone Granger invented a new spell.”(以序列作为一个输入)， $x^{<t>}$ 表示输入x中的第t个符号。
输出y：如“1 1 0 1 1 0 0 0 0”（人名定位），同样，用 $y^{<t>}$ 表示输出y中的第t个符号。
$T_x$ 用来表示输入x的长度；
$T_y$ 用来表示输出y的长度；
$x^{(i)<t>}$ 表示第i个输入样本的第t个符号，其余同理。
利用单词字典编码来表示每一个输入的符号：如one-hot编码等，实现输入x和输出y之间的映射关系。

Recurrent Neural Network Model

传统标准的神经网络：

对于学习X和Y的映射，我们可以很直接的想到一种方法就是使用传统的标准神经网络。也许我们可以将输入的序列X以某种方式进行字典编码以后，如one-hot编码，输入到一个多层的深度神经网络中，最后得到对应的输出Y。如下图所示：

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循环神经网络：

循环神经网络作为一种新型的网络结构，在处理序列数据问题上则不存在上面的两个缺点。如下图所示：

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序列模型从左到右，依次传递，此例中， $T_x=T_y$ 。 $x^{<t>}$ 到 $\hat{y}^{<t>}$ 之间是隐藏神经元。 $a^{<t>}$ 会传入到第t+1个元素中，作为输入。其中， $a^{<0>}$ 一般为零向量。

RNN模型包含三类权重系数，分别是 $W_{ax}，W_{aa}，W_{ya}$ 。且不同元素之间同一位置共享同一权重系数。

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RNN的正向传播（Forward Propagation）过程为：
$a^{<t>}=g(W_{aa}⋅a^{<t−1>}+W_{ax}⋅x^{<t>}+b_a)$
$\hat{y}^{<t>}=g(W_{ya}⋅a^{<t>}+b_y)$
其中，g(⋅)表示激活函数，不同的问题需要使用不同的激活函数。
为了简化表达式，可以对 $a^{<t>}$ 项进行整合：
$W_{aa}\cdot a^{<t-1>}+W_{ax}\cdot x^{<t>}=[W_{aa}\ \ W_{ax}]\begin{bmatrix}a^{[t-1]} \\x^{<t>}\end{bmatrix}\to\ W_a[a^{<t-1>},x^{<t>}]$

则正向传播可表示为：

$a^{<t>}=g(W_a[a^{<t-1},x^{<t>}]+b_a)$
$\hat{y}^{<t>}=g(W_y \cdot a^{<t>}+b_y)$

Backpropagation through time

针对上面识别人名的例子，经过RNN正向传播，单个元素的Loss function为：
$L^{<t>}(ŷ^{<t>},y^{<t>})=−y^{<t>}logŷ^{<t>}−(1−y^{<t>})log (1−ŷ^{<t>})$
该样本所有元素的Loss function为：
$L(ŷ ,y)=\sum_{t=1}^TyL^{<t>}(ŷ^{<t>},y^{<t>})$
然后，反向传播（Backpropagation）过程就是从右到左分别计算L(ŷ ,y)对参数 $W_a，W_y，b_a，b_y$ 的偏导数。思路与做法与标准的神经网络是一样的。一般可以通过成熟的深度学习框架自动求导，例如PyTorch、Tensorflow等。这种从右到左的求导过程被称为Backpropagation through time。

Different types of RNNs

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上图左下角many to many 模型是 $T_x=T_y$ ,而右下角many to many 模型是 $T_x\neq T_y$

Language model and sequence generation

在NLP中，构建语言模型是最基础也是最重要的工作之一，我们可以通过RNN来很好的实现。
什么是语言模型呢？举个例子，在语音识别中，某句语音有两种翻译：

The apple and pair salad.
The apple and pear salad.

很明显，第二句话更有可能是正确的翻译。语言模型实际上会计算出这两句话各自的出现概率。比如第一句话概率为 $10^{−13}$ ，第二句话概率为 $10^{−10}$ 。也就是说，利用语言模型得到各自语句的概率，选择概率最大的语句作为正确的翻译。概率计算的表达式为：
$P(y^{<1>},y^{<2>},....,y^{<T_y>})$
如何使用RNN构建语言模型？首先，我们需要一个足够大的训练集，训练集由大量的单词语句语料库（corpus）构成。然后，对corpus的每句话进行切分词（tokenize）。做法就跟第2节介绍的一样，建立vocabulary，对每个单词进行one-hot编码。例如下面这句话：
The Egyptian Mau is a bread of cat.
One-hot编码已经介绍过了，不再赘述。还需注意的是，每句话结束末尾，需要加上< EOS >作为语句结束符。另外，若语句中有词汇表中没有的单词，用< UNK >表示。假设单词“Mau”不在词汇表中，则上面这句话可表示为：
The Egyptian < UNK > is a bread of cat. < EOS >
准备好训练集并对语料库进行切分词等处理之后，接下来构建相应的RNN模型。

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语言模型的RNN结构如上图所示， $x^{<1>}$ 和 $a^{<0>}$ 均为零向量。Softmax输出层 $\hat{y}^{<1>}$ 表示出现该语句第一个单词的概率，softmax输出层 $\hat{y}^{<2>}$ 表示在第一个单词基础上出现第二个单词的概率，即条件概率，以此类推，最后是出现< EOS >的条件概率。

单个元素的softmax loss function为：
$L^{<t>}(\hat{y}^{<t>},y^{<t>})=−\sum_iy^{<t>}_ilog\hat{y}^{<t>}_i$
该样本所有元素的Loss function为：
$L(\hat{y} ,y)=\sum_tL^{<t>}(\hat{y}^{<t>},y^{<t>})$
对语料库的每条语句进行RNN模型训练，最终得到的模型可以根据给出语句的前几个单词预测其余部分，将语句补充完整。例如给出“Cats average 15”，RNN模型可能预测完整的语句是“Cats average 15 hours of sleep a day.”。

最后补充一点，整个语句出现的概率等于语句中所有元素出现的条件概率乘积。例如某个语句包含 $y^{<1>},y^{<2>},y^{<3>}$ ，则整个语句出现的概率为： $P(y^{<1>},y^{<2>},y^{<3>})=P(y^{<1>})⋅P(y^{<2>}|y^{<1>})⋅P(y^{<3>}|y^{<1>},y^{<2>})$

Sampling novel sequences

利用训练好的RNN语言模型，可以进行新的序列采样，从而随机产生新的语句。与上一节介绍的一样，相应的RNN模型如下所示：

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首先输入 $x^{<1>}=0,a^{<0>}=0$ ,在第一个时间戳输出的softmax分布中随机选取一个word作为新语句的首单词 $\hat{y}^{<1>}$ 。
然后继续下一个时间戳，我们以刚刚采样得到的 $\hat{y}^{<1>}$ 作为下一个时间戳的输入，进而softmax层会预测下一个输出 $\hat{y}^{<2>}$ ，以此类推。
如果字典中有结束的标志如：“EOS”，那么输出是该符号时则表示结束；若没有这种标志，则我们可以自行设置结束的时间戳。

上面的模型是基于词汇的语言模型，我们还可以构建基于字符的语言模型，其中每个单词和符号则表示一个相应的输入或者输出：

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character level RNN的优点是能有效避免遇到词汇表中不存在的单词< UNK >。但是，character level RNN的缺点也很突出。由于是字符表征，每句话的字符数量很大，这种大的跨度不利于寻找语句前部分和后部分之间的依赖性。另外，character level RNN的在训练时的计算量也是庞大的。基于这些缺点，目前character level RNN的应用并不广泛，但是在特定应用下仍然有发展的趋势。

Vanishing gradients with RNNs

语句中可能存在跨度很大的依赖关系，即某个word可能与它距离较远的某个word具有强依赖关系。例如下面这两条语句：

The cat, which already ate fish, was full.

The cats, which already ate fish, were full.

第一句话中，was受cat影响；第二句话中，were受cats影响。它们之间都跨越了很多单词。而一般的RNN模型每个元素受其周围附近的影响较大，难以建立跨度较大的依赖性。上面两句话的这种依赖关系，由于跨度很大，普通的RNN网络容易出现梯度消失，捕捉不到它们之间的依赖，造成语法错误。

另一方面，RNN也可能出现梯度爆炸的问题，即gradient过大。常用的解决办法是设定一个阈值，一旦梯度最大值达到这个阈值，就对整个梯度向量进行尺度缩小。这种做法被称为gradient clipping。

Gated Recurrent Unit（GRU）

RNN的隐藏层单元结构如下图所示：

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为了解决梯度消失问题，对上述单元进行修改，添加了记忆单元，构建GRU，如下图所示：

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相应的表达式为：

$\tilde{c}^{<t>}=tanh(W_c[c^{<t-1>},x^{<t>}]+b_c)$

$\Gamma_u=\sigma(W_u[c^{<t-1>},x^{<t>}]+b_u)$

$c^{<t>}=\Gamma_u\ * \tilde{c}^{<t>}+(1-\Gamma_u)\ *c^{<t-1>}$

其中 $c^{<t-1>}=a^{<t-1>},c^{<t>}=a^{<t>}$ . $\Gamma_u$ 意为gate，记忆单元。当 $\Gamma_u=1$ 时，代表更新；当 $\Gamma_u$ =0时，代表记忆，保留之前的模块输出。这一点跟CNN中的ResNet的作用有点类似。因此 $\Gamma_u$ 能够保证RNN模型中跨度很大的依赖关系不受影响，消除梯度消失问题。

上面介绍的是简化版的GRU模型，完整的GRU添加了另外一个gate，即 $\Gamma_r$ 表达式如下：
$\tilde{c}^{<t>}=tanh(\Gamma_r\ *W_c[c^{<t-1>},x^{<t>}]+b_c)$
$\Gamma_u=\sigma(W_u[c^{<t-1>},x^{<t>}]+b_u)$
$\Gamma_r=\sigma(W_r[c^{<t-1>},x^{<t>}]+b_r)$
$c^{<t>}=\Gamma_u\ * \tilde{c}^{<t>}+(1-\Gamma_u)\ *c^{<t-1>}$

Long Short Term Memory(LSTM)

LSTM是另一种更强大的解决梯度消失问题的方法。它对应的RNN隐藏层单元结构如下图所示：

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相应的表达式为：

$\tilde{c}^{<t>}=tanh(W_c[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_c)$
$\Gamma_u=\sigma(W_u[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_u)$
$\Gamma_f=\sigma(W_f[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_f)$
$\Gamma_o=\sigma(W_o[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_o)$
$c^{<t>}=\Gamma_u\ * \tilde{c}^{<t>}+\Gamma_f\ *c^{<t-1>}$
$a^{<t>}=\Gamma_o\ *c^{<t>}$

GRU可以看成是简化的LSTM，两种方法都具有各自的优势。

Bidirectional RNN

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BRNN对应的输出 $y^{<t>}$ 表达式为：

$\hat{y}^{<t>}=g(W_y[\overrightarrow{a}^{<t>},\overleftarrow{a}^{<t>}]+b_y)$

BRNN能够同时对序列进行双向处理，性能大大提高。但是计算量较大，且在处理实时语音时，需要等到完整的一句话结束时才能进行分析。

Deep RNNs

Deep RNNs由多层RNN组成，其结构如下图所示：

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与DNN一样，用上标[l][l]表示层数。Deep RNNs中 $a^{[l]<t>}$ 的表达式为：
$a^{[l]<t>}=g(W^{[l]}_a[a^{[l]<t−1>},a^{[l−1]<t>}]+b^{[l]}_a)$
我们知道DNN层数可达100多，而Deep RNNs一般没有那么多层，3层RNNs已经较复杂了。

另外一种Deep RNNs结构是每个输出层上还有一些垂直单元，如下图所示：

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