<一>
一、什么是二分图：
算法竞赛中定义：首先是一张N个点的无向图，其次这N个点可以分成A、B两个部分，A交B为空集，且同一集合中的点没有边相连（不同集合中的两个点之间可能有边相连也可能没有边相连，可能一条也可能多条）。
离散中定义（对偶图）：任取一条边，该边的两个端点一定处于两个不同的集合中。
二、判断某一无向图是不是二分图。
1、原理：二分图中所有回路的路径长度均为偶数，即不存在长度为奇数的回路。
2、思路：黑白点标记判断标记是否会出现矛盾。
3、实现代码：
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<ctime>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=10010;
const int M=10010*4;
int Next[M];
int ver[M];
int head[N];
int tot;
void add(int x,int y)
{
ver[++tot]=y;
Next[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
int color[N];
bool dfs(int x,int c)
{
color[x]=c;
for(int i=head[x];i;i=Next[i])
{
int y=ver[i];
if(color[y]==c)return 0;
if(!color[y]&&dfs(y,-c)==false)return 0;//不用担心往回跑的情况
}
return 1;
}
int main()
{
int n,m;
while(cin>>n>>m)
{
memset(head,0,sizeof(head));
memset(ver,0,sizeof(ver));
memset(Next,0,sizeof(Next));
tot=0;
memset(color,0,sizeof(color));
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int x,y;
cin>>x>>y;
add(x,y);
add(y,x);
}
int ans=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(color[i]==0&&!dfs(i,1))
{
ans=0;
break;
}
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
4、例题：codevs1069 关押罪犯 http://codevs.cn/problem/1069/
题解：https://blog.csdn.net/qq_41661919/article/details/86422452
<二>二分图最大匹配（边数最多的一组匹配）
一、增广路概念及性质：
1、长度一定为奇数；
2、奇数边为非匹配边，偶数号边为匹配边；
3、原图中匹配状态取反后的图仍为匹配图，且最大匹配数+1；
二、匈牙利算法求最大匹配值：
1、原理：不断寻找增广路，匹配数相应+1，详细较复杂，可以再看看书，或者博客。
个人理解的话就是看每个左部节点能不能找到它的匹配节点，通过增广路算法得到的已经匹配的点不会变为非匹配节点，顶多更换匹配对象。能找到匹配数+1，找不到不变。
https://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547
https://blog.csdn.net/qq_38956769/article/details/80238896
2、算法代码实现：
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<ctime>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=20010;
const int M=100001*2;
int Next[M];
int ver[M];
int head[N];
int tot;
void add(int x,int y)
{
ver[++tot]=y;
Next[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
bool visit[N];
int match[N];
bool dfs(int x)
{
for(int i=head[x];i;i=Next[i])
{
int y=ver[i];
if(!visit[y])
{
visit[y]=1;
if(!match[y]||dfs(match[y]))//对立点没有被使用，或者占用它的左节点可以
{
match[y]=x;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
int n,m;
while(cin>>n>>m)
{
memset(head,0,sizeof(head));
memset(Next,0,sizeof(Next));
memset(ver,0,sizeof(ver));
tot=0;
memset(match,0,sizeof(match));
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int x,y;
cin>>x>>y;
add(x,y);
add(y,x);
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)//遍历每一个左部节点(不好确定谁是左部节点的时候可以遍历所有节点，然后ans/2)，看能不能找到其在右边的对应匹配节点
{
memset(visit,0,sizeof(visit));//visit只是一个临时标记，只在单一节点为起点的搜索中起作用，搜一个节点更新一次；
if(dfs(i))ans++;
}
cout<<ans/2<<endl;
}
return 0;
}
3、
例题1：TYVJ棋盘覆盖
题解：https://blog.csdn.net/qq_41661919/article/details/86429537
例题2：車的放置 蓝书
题意：N*M的棋盘，某些个子进制放置棋子，问棋盘上最多能防止多少个不能相互攻击的車。N，M<=200。
分析：
1要素：1行只能有一个棋子，一列同样只能有一个棋子。棋子可以同时占某一行和某一列。
0要素：不同行或者不同列之间不会同时有同一个棋子。
最终，所以左部节点为行号，右部节点为列号，连线表示棋子，建立二分图。
三、完备匹配概念。
二分图左右部节点数相同，且二分图最大匹配数==n。
四、二分图最小点覆盖。
1、定义：二分图中一最小点集S，使得从二分图中任取一条边，该边至少以一个端点位于S中。即能够覆盖所有边的最小S集。
2、定理：二分图最小覆盖点包含的点数等于二分图最大匹配包含的边数。
例题：POJ 1325 Machine Schedule
题解：https://blog.csdn.net/qq_41661919/article/details/86444389
五、二分图最大独立集：
1、定义：任意两点之间没有边相连的最大点集。最大团：任意两点之间均有边相连的最大点集。
2、定理：二分图的最大独立集中点的个数等于n（左+右）-二分图的最大匹配。
定理：二分图的最大团中点的个数等于二分图补图的最大匹配。
六、有向无环图的最小不相交路径点覆盖：
七、有向无环图的最小可相交路径点覆盖：