四、二分图
1.二分图判定
二分图的一个等价定义是：不含有「奇数条边的环」的图。
判定算法：
1.选取一个未染色的点u进行染色
2.遍历u的相邻节点v：若v未染色，则染色成与u不同的颜色，并对v重复第2步；若v已经染色，如果 u和v颜色相同，判定不可行退出遍历。
3.若所有节点均已染色，则判定可行。
例题与代码请看这篇博客，写得很棒：点击打开链接
2.二分图最大匹配（匈牙利算法）
①概念：
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。 显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
交错路 ： 从一个未匹配点出发，依次遍历未匹配边、匹配边、未匹配边，这样交替下去，这条路径称为交错路
增广路 ： 从一个未匹配点出发，依次遍历未匹配边、匹配边、未匹配边，这样交替下去，如果最后一个点是未匹配点，这条路径称为增广路。换句话说，起点和终点都为未匹配点的交错路为增广路（特别提醒，这里的增广路和网络流中的增广路的意义不同）
②增广路的一些特点：
增广路一定有奇数条边。
增广路中未匹配边一定比匹配边多一条（因为是从未匹配点出发走交错路到未匹配点结束）
这里其实就表明了研究增广路的意义，如果找到了一条增广路，那么将未匹配点与匹配边的身份调换,那么匹配的边数就多了一条，这样直到找不到增广路为止，那么整个图的匹配的边数一定最大，也就是找到了二分图的最大匹配。
③匈牙利算法原理：
匈牙利算法正是利用了增广路的性质，从X集合中找到一个未匹配点，寻找增广路，找到了，匹配数+1，如果没有找到，那么从X中找到下一个未匹配的点，再次寻找增广路……重复上述过程，直到X集合中的所有节点都被“增广”完毕，无论如何都找不到增广路，那么整个图的匹配数就最大了。
④模板题：