平稳过程

严平稳定义：

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是一个随机过程：

n维随机变量 $X(t_{1}),X(t_{2}),...,X(t_{n})$ 与 $X(t_{1}+\tau),X(t_{2}+\tau),...,X(t_{n}+\tau )$ 有相同的n维联合分布函数。

则称随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 为严平稳过程。

宽平稳定义：

如果随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，即 $E[X^{2}(t)]< +\infty$ ，且满足：

1、E[X(t)]=m

2、R(s,t)=E[X(s)X(t)]=R(t-s)

定理1：

严平稳是宽平稳 $\Leftrightarrow$ 严平稳过程的二阶矩存在。

定理2：

正态随机过程是严平稳 $\Leftrightarrow$ 它为宽平稳。

随机相位正弦波： $X(t)=a\cos (\omega t+\Theta ),t\in R$ ， $\Theta$ 在[0，2π]上服从均匀分布。

m(t)=0

R(t,t+τ）= $\frac{a^2}{2}\cos\omega\tau$

且 $E[X^{2}(t)]=R(0)=\frac{a^2}{2}< +\infty$

实平稳过程自相关函数的性质：

$R_{x}(0)=E[\left | X(t) \right |^2] \geq 0$

$\left | R_{x}(\tau) \right |\leq R_{x}(0)$

$R_{x}(-\tau) = R_{x}(\tau)$

定理1：

如果 $\{X(t),t\in T\}$ 是周期为L的周期平稳过程，即P{X(t+L)=X(t)}=1，则X(t)的自相关函数，有R(τ+L)=R(τ)

定理2：

实平稳过程 $\{X(t),t\in T\}$ 均方连续 $\Leftrightarrow$ $R_x(\tau)$ 在τ=0处连续，且此时 $R_x(\tau)$ 处处连续

定理3：

设 $X_T=\{X(t),t\in T\}$ 是平稳过程：

（1） $X_T$ 均方可微 $\Leftrightarrow$ $R_x(\tau)$ 在τ=0处二次可微，此时 $R{}''(\tau)$ 处处存在。

（2） $X_T$ 均方可微 $\Rightarrow$ $\{X{'}(t),t\in T\}$ 为平稳过程， $m_X{'}(t)=0$ ， $R_X{'}(\tau)=-R{''}_X(\tau)$

（3） $\{X(t),t\in T\}$ 与 $\{X{'}(t),t\in T\}$ 的互相关函数为： $R_{XX{'}}(\tau)=R{'}_X(\tau)$ ， $R_{X{'}X}(\tau)=-R{'}_X(\tau)$

定理4：

设实平稳过程 $\{X(t),t\in T\}$ 均方连续，则在有限区间上均方积分 $\int_{b}^{a}X(t)dt$ 存在，且有

$E[\ \int_{a}^{b}X(t)dt\ ]=(b-a)m_x$

$E[\ \int_{a}^{b}X(t)dt\ ]^2=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}R(t-s)dsdt=2\int_{0}^{b-a}[(b-a)-\left | \tau \right |]R(\tau)d\tau$

平稳过程均方遍历性：

$\{X(t),t\in T\}$ 时间均值： $<X(t)>=l.i.m_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)dt$

$\{X(t),t\in T\}$ 时间自相关函数： $<X(t),\overline{X(t+\tau)}>=l.i.m_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t)\overline{X(t+\tau)}dt$

均值具有均方遍历性：

$P\{<X(t)>=m_x\}=1$ ， $<X(t)>=m_x$ 依概率1成立。

定理1：

均值具有均方遍历性 $\Leftrightarrow$ $\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}(1-\frac{\tau}{T})[R_x(\tau)-m_{x}^2]d\tau=0$

ps:也可通过 $\lim_{\tau \to \infty} R_{x}(\tau) = m_{x}^2$ 判定。

自相关函数具有均方遍历性：

$P\{<X(t)X(t+\tau)>=R_x(\tau)\}=1$ ， $<X(t)X(t+\tau)>=R_x(\tau)$ 依概率1成立。

定理2：

$\{X(t),t\in T\}$ 的4阶矩存在，且 $<X(t),X(t+\tau)>$ 是均方连续的平稳过程，则

自相关函数具有均方遍历性 $\Leftrightarrow$ $\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}(1-\frac{u}{T})[B(u)-R_x(\tau)]du=0$

其中， $B(u)=E[X(t)X(t+\tau)X(t+u)X(t+\tau+u)]$

ps：若 $\{X(t),t\in T\}$ 是零均值的实平稳的正态随机过程，且 $\lim_{\tau \to \infty} R_{x}(\tau) = 0$ ，则自相关函数均方遍历。

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